Упражнение 843 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(2b^2 - 6b + 1 > 2b(b - 3)\)

\(2b^2 - 6b + 1 - 2b(b - 3)=\)

\(=\cancel{2b^2} - \cancel{6b} + 1 - \cancel{2b^2} + \cancel{6b} =\)

\(=1 > 0\).

б) \((c + 2)(c + 6) < (c + 3)(c + 5)\)

\((c + 2)(c + 6) - (c + 3)(c + 5)=\)

\(= c^2 +6c +2c + 12 - (c^2 +5c + 3c + 15=\)

\(=\cancel{c^2} +\cancel{6c} +\cancel{2c} + 12 - \cancel{c^2} -\cancel{5c} - \cancel{3c} - 15=\)

\(=-3 < 0\).

в) \(p(p + 7) > 7p - 1\)

\( p(p+7) - (7p-1) =\)

\(= (p^2+7p) - (7p-1) =\)

\(=p^2+1 > 0\) при любом значении \(p\).

г) \(8y(3y - 10) < (5y - 8)^2\)

\(8y(3y - 10) - (5y - 8)^2 = \)

\(=24y^2 - 80y - (25y^2 - 80y + 64) = \)

\(=24y^2 - \cancel{80y} - 25y^2 + \cancel{80y} - 64 = \)

\(=-y^2-64 = -(y^2 + 64) < 0\) - при любом значении \(y\).

Пояснения:

Чтобы выполнить доказательство, мы находили разность левой и правой частей неравенства, а затем учитывали, то что:

1. Если \(a - b < 0\), то \(a < b\).

2. Если \(a - b > 0\), то \(a > b\).

а) \(2a - 1 < 7 - 1,2a\).

\(2a + 1,2a < 7 + 1\).

\(3,2a < 8\)   \(/ : 3,2\)

\(a < \dfrac{8}{3,2} \)

\(a < \dfrac{80}{32} \)

\(a < \dfrac{5}{2} \)

\(a < 2,5\)

Ответ: при \(a \in (-\infty; 2,5)\).

б) \(1,5p - 1 > 1 + 1,1p\).

\(1,5p - 1,1p > 1 + 1\).

\(0,4p > 2\)   \(/ : 0,4\)

\(p > \dfrac{2}{0,4}\)

\(p > \dfrac{20}{4}\)

\(p > 5\)

Ответ: при \(p \in (5; +\infty)\).

Пояснения:

Чтобы сравнить значения двух двучленов, составляем неравенство.

При решении рассматриваемых неравенств помним:

- если из одной части неравенства перенести в другую слагаемое с противоположным знаком, то получится равносильное ему неравенство;

- если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число, то получится равносильное ему неравенство;

Если знак неравенства строгий (\(>\)  или \(<\)), то точку на координатной прямой делаем "выколотой" (незакрашенной), при записи промежутка используем круглую скобку.

Если знак неравенства нестрогий (\(\geq\)  или \(\leq\)), то точку на координатной прямой делаем закрашенной, а при записи промежутка используем квадратную скобку.

У \(-\infty\) и \(+\infty\) при записи промежутка скобка всегда круглая.