Упражнение 840 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

\( 3a(a + 6) \) и \( (3a + 6)(a + 4)\)

1) Если \(a = -5\), то

\( 3a(a + 6) = 3\cdot(-5)\cdot(-5 + 6) =\)

\(=-15\cdot1 = -15\).

\( (3a + 6)(a + 4) = \)

\(=(3\cdot(-5) + 6)(-5+4)=\)

\(=(-15 + 6)\cdot(-1) =\)

\(=-9\cdot(-1) = 9\),

\(-15 < 9\)

\( 3a(a + 6) < (3a + 6)(a + 4)\).

2) Если \(a = 0\), то

\( 3a(a + 6) = 3\cdot0\cdot(0 + 6) =0\),

\( (3a + 6)(a + 4) = \)

\(=(3\cdot0 + 6)(0+4) = \)

\(=6\cdot4 = 24\),

\(0 < 24\)

\( 3a(a + 6) < (3a + 6)(a + 4)\).

3) Если \(a = 40\), то

\( 3a(a + 6) = 3\cdot40\cdot(40 + 6) =\)

\(=120\cdot46 =5520\),

\( (3a + 6)(a + 4) = \)

\(=(3\cdot40 + 6)(40+4) = \)

\(=(120 + 6)\cdot44 =\)

\(=126\cdot44 = 5544\)

\(5520 < 5544\)

\( 3a(a + 6) < (3a + 6)(a + 4)\).

4) \( 3a(a + 6) < (3a + 6)(a + 4)\) при любом \(a\).

\( 3a(a + 6) - (3a + 6)(a + 4)=\)

\(=3a^2 + 18a -(3a^2 +12a + 6a +24) =\)

\(=3a^2 + 18a -(3a^2 +18a +24) =\)

\(=\cancel{3a^2} + \cancel{18a} -\cancel{3a^2} - \cancel{18a} - 24) =\)

\(=-24 < 0\)

Пояснения:

При доказательстве использовали то, что если \(a - b < 0\), то \(a < b\).

Мы нашли, что разность выражений \( 3a(a + 6) \) и \( (3a + 6)(a + 4)\) всегда равна \(-24\), значит,

\( 3a(a + 6) < (3a + 6)(a + 4)\) при любом \(a\).

а) \(7x - 2,4 < 0,4\)

\(7x < 0,4 + 2,4\)

\(7x < 2,8 \)    \(/ : 7\)

\(x < 0,4\)

Ответ: \((-\infty; 0,4)\).

б) \(1 - 5y > 3 \)

\(- 5y > 3 - 1 \)

\(-5y > 2 \)    \(/ : (-5)\)

\(y < -0,4\).

Ответ: \((-\infty; -0,4)\).

в) \(2x - 17 \geq -27\)

\(2x \geq -27 + 17\)

\(2x \geq -10 \)   \(/ : 2\)

\(x \geq -5\).

Ответ: \([-5; +\infty)\).

г) \(2 - 3a \leq 1\)

\(- 3a \leq 1-2\)

\(-3a \leq -1 \)   \(/ : (-3)\)

\(a \geq \frac{1}{3}\).

Ответ: \([\frac{1}{3}; +\infty)\).

д) \(17 - x > 10 - 6x \)

\( - x + 6x > 10 - 17 \)

\(5x > -7\)   \(/ : 5\)

\(x > -\frac{7}{5}\).

\(x > -1,4\)

Ответ: \((-1,4; +\infty)\).

е) \(30 + 5x \leq 18 - 7x \)

\(5x + 7x \leq 18 - 30\)

\(12x \leq -12 \)    \(/ : 12\)

\(x \leq -1\).

Ответ: \((-\infty; -1]\).

ж) \(64 - 6y \geq 1 - y \)

\(-6y + y \geq 1 - 64 \)

\(-5y \geq -63 \)   \(/ :(-5)\)

\(y \leq 12,6\).

Ответ: \((-\infty; 12,6]\).

з) \(8 + 5y \leq 21 + 6y \)

\(5y - 6y \leq 21 - 8 \)

\(-y \leq 13 \)   \(/\times (-1)\)

\(y \geq -13\).

Ответ: \([-13; +\infty)\).

Пояснения:

При решении рассматриваемых неравенств помним:

- если из одной части неравенства перенести в другую слагаемое с противоположным знаком, то получится равносильное ему неравенство;

- если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число, то получится равносильное ему неравенство;

- если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же отрицательное число, изменив при этом знак неравенства на противоположный, то получится равносильное ему неравенство.

Если знак неравенства строгий (\(>\)  или \(<\)), то точку на координатной прямой делаем "выколотой" (незакрашенной), при записи промежутка используем круглую скобку.

Если знак неравенства нестрогий (\(\geq\)  или \(\leq\)), то точку на координатной прямой делаем закрашенной, а при записи промежутка используем квадратную скобку.

У \(-\infty\) и \(+\infty\) при записи промежутка скобка всегда круглая.