Упражнение 842 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(3(a+1) + a < 4(2+a)\)

\(3(a+1) + a - 4(2+a)=\)

\(=\cancel{3a} + 3 + \cancel{a} -8 -\cancel{4a} =\)

\(=-5 < 0\).

б) \((7p-1)(7p+1) < 49p^2\)

\((7p-1)(7p+1) - 49p^2=\)

\(=\cancel{49p^2} - 1 - \cancel{49p^2} = -1<0\).

в) \((a-2)^2 > a(a-4)\)

\((a-2)^2 - a(a-4)=\)

\(=\cancel{a^2} -\cancel{4a} + 4-\cancel{a^2} +\cancel{4a} = \)

\(=4 > 0\).

г) \((2a+3)(2a+1) > 4a(a+2)\)

\((2a+3)(2a+1) - 4a(a+2)=\)

\(=\cancel{4a^2} + \cancel{2a} +\cancel{6a} +3 -\cancel{4a^2} -\cancel{8a} =\)

\(=3 > 0\).

Пояснения:

При доказательстве учитываем то, что:

1. Если \(a - b < 0\), то \(a < b\).

2. Если \(a - b = 0\), то \(a = b\).

3. Если \(a - b > 0\), то \(a > b\).

а) \(2x - 1 > 0 \)

\(2x > 1 \)   \( / : 2\)

\(x > \frac12 \) 

\(x > 0,5\).

Ответ: при \(x \in (0,5; +\infty)\).

б) \(21 - 3y < 0 \)

\(-3y < -21 \)   \( / : (-3)\)

\(y > 7\)

Ответ: при \(y \in (7; +\infty)\).

в) \(5 - 3c > 80 \)

\(- 3c > 80 - 5 \)

\(-3c > 75\)    \( / : (-3)\)

\(c < -25\).

Ответ: при \(c \in (-\infty; -25)\).

Пояснения:

Чтобы определить, когда двучлен принимает положительные (или отрицательные, или большие определённого числа) значения, нужно составить соответствующее неравенство.

При решении рассматриваемых неравенств помним:

- если из одной части неравенства перенести в другую слагаемое с противоположным знаком, то получится равносильное ему неравенство;

- если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число, то получится равносильное ему неравенство;

- если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же отрицательное число, изменив при этом знак неравенства на противоположный, то получится равносильное ему неравенство.

Если знак неравенства строгий (\(>\)  или \(<\)), то точку на координатной прямой делаем "выколотой" (незакрашенной), при записи промежутка используем круглую скобку.

Если знак неравенства нестрогий (\(\geq\)  или \(\leq\)), то точку на координатной прямой делаем закрашенной, а при записи промежутка используем квадратную скобку.

У \(-\infty\) и \(+\infty\) при записи промежутка скобка всегда круглая.