Упражнение 818 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

\(30\;мин = \frac12 \;ч\)

\(4 \; ч + \frac12 \; ч = 4\frac12 \; ч =\frac92 \; ч\)

Составим уравнение:

\(\frac{100}{x} + \frac{4x - 100}{x - 10} = \frac92\) \(/\times 2x(x-10)\)

ОДЗ: \(x\neq0\)   и   \(x - 10\neq 0\)

                            \(x\neq10\)

\(200(x-10) +2x(4x-100) = 9x(x - 10)\)

\(\cancel{200x} - 2000+ 8x^2 - \cancel{200x} = 9x^2 - 90x\)

\(9x^2 - 90x +2 000 -8x^2 = 0\)

\(x^2 - 90x + 2000 = 0\)

\(a = 1\),  \(b = -90\),  \(c = 2000\)

\(D=b^2 - 4ac =\)

\(=(-90)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2000 =\)

\(=8100 - 8000 = 100\),   \(\sqrt D = 10\).

\(x_1= \frac{-(-90) + 10}{2\cdot1}=\frac{100}{2} =50\).

\(x_2= \frac{-(-90) - 10}{2\cdot1}=\frac{80}{2} =40\)

Если \(x = 50\) (км/ч), то

\(4\cdot50 = 200\) (км) - расстояние между городами.

Если \(x = 40\) (км/ч), то

 \(4\cdot40 = 160\). (км) - расстояние между городами.

Ответ: расстояние между городами может быть \(160\) км или \(200\) км.

Пояснения:

В задаче использовались формулы:

1. Формула пути: \[S = v \cdot t\]

2. Формула времени: \[t = \frac{S}{v}\]

Мы обозначили скорость мотоциклиста из одного города в другой \(x\) км/ч. Так как мотоциклист ехал из одного города в другой за 4 часа, то расстояние можно выразить как \(S = 4x\).

При обратном пути условие изменилось: часть пути он проехал со скоростью \(x\), а оставшуюся часть со скоростью \(x - 10\), затратив на обратный путь на полчаса больше. Поэтому составили следующее дробное рациональное уравнение:

\(\frac{100}{x} + \frac{4x - 100}{x - 10} = \frac92\).

Алгоритм решения дробного рационального уравнений:

1) найти ОДЗ (область допустимых значений), то есть те значения переменной, при которых знаменатель обращается в нуль;

2) найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение;

3) умножить обе части уравнения на общий знаменатель;

4) решить получившееся целое уравнение;

5) исключить из его корней те, которые совпадают с ОДЗ.

После того как обе части уравнения домножили на общий знаменатель и выполнили преобразования, получили квадратное уравнение, у которого дискриминант \(D = b^2 - 4ac>0\), поэтому уравнение имеет два корня: \(50\) и \(40\). Оба корня удовлетворяют условию задачи, то есть мотоциклист мог двигаться либо со скоростью \(50\) км/ч, либо со скоростью \(40\) км/ч, тогда расстояние между городами может быть равно \(160\) км или \(200\) км соответственно.

а) \([-1,5; 6,5]\) принадлежат:

\(-1,5; -1; 0; 3; 5,1; 6,5\).

б) \((3; +\infty)\) принадлежат:

\(5,1; 6,5\).

в) \((-\infty; -1]\) принадлежат:

\(-1,6; -1,5; -1\).

Пояснения:

Промежуток \([a; b]\) включает все числа от \(a\) до \(b\), включая границы.

Промежуток \((a; +\infty)\) включает все числа больше \(a\), но не само \(a\).

Промежуток \((-\infty; b]\) включает все числа меньше или равные \(b\).