Упражнение 763 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

Пусть первое нечётное число равно \(2n+1\). Тогда следующее нечётное число равно \(2n+3\).

Составим уравнение:

\((2n+3)^3 - (2n+1)^3 = 866\)

\((8n^3 + 36n^2 + 54n + 27) - (8n^3 + 12n^2 + 6n + 1) = 866\)

\(8n^3 + 36n^2 + 54n + 27 - 8n^3 - 12n^2 - 6n - 1 - 866=0\)

\(24n^2 + 48n - 840 = 0\)     \(/ : 24\)

\(n^2 + 2n - 35 = 0\)

\(a = 1\),  \(b = 2\),  \(c = -35\)

\( D=b^2 - 4ac=\)

\(= 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-35) =\)

\(=(4 + 140 = 144\),    \(\sqrt D = 12\).

\(n_{1,2} = \frac{-b\pm \sqrt D}{2a}\)

\(n_1 = \frac{-2 + 12}{2\cdot1}= \frac{10}{2} = 5\).

\(n_2 = \frac{-2 - 12}{2\cdot1}= \frac{-14}{2} = -7\) - не удовлетворяет условию.

\(2\cdot5 + 1 = 10+1 = 11\) - первое число.

\(2\cdot5 + 3 = 10+3 = 13\) - второе число.

Ответ: числа \(11\) и \(13\).

Пояснения:

Так как нечётные числа можно записать в виде \(2n+1\), то следующее нечётное число будет \(2n+3\).

По разности кубов этих чисел составляем уравнение:

\((2n+3)^3 - (2n+1)^3 = 866\).

По формуле куба суммы раскрыли скобки, перенесли число из правой части уравнения в левую с противоположным знаком, привели подобные, получили квадратное уравнение относительно \(n\). Решив его через дискриминант, нашли два корня, но только положительный (\(n=5\)) подходит, так как речь идёт о натуральных числах.

Таким образом, искомые числа: \(11\) и \(13\).

1) При \(x = \dfrac{1}{4}\):

\(\left(\dfrac{1}{4}\right)^2 - 4 \cdot \dfrac{1}{4} + 1 = \dfrac{1}{16} - 1 + 1 = \)

\(=\dfrac{1}{16}.\)

2) При \(x = -3\):

\((-3)^2 - 4 \cdot (-3) + 1 = \)

\(=9 + 12 + 1 = 22.\)

3) При \(x = 2 - \sqrt{3}\):

\[(2 - \sqrt{3})^2 - 4(2 - \sqrt{3}) + 1=\]

\[= 4 - 4\sqrt{3} + 3 - 8 + 4\sqrt{3} + 1=0\]

Пояснения:

Для нахождения значения многочлена нужно подставить заданное значение переменной и выполнить вычисления.

Использованные приемы:

- квадрат разности двух выражений:

\((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\).

- распределительное свойство:

\(k(a\pm b) = ka \pm b\).

- свойство арифметического квадратного корня:

\((\sqrt a)^2 = a\).