Упражнение 761 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

Пусть ширина листа картона равна \(x\) см, тогда его длина равна \(1,5x\) см.

После вырезания квадратов со стороной \(8\) см размеры основания коробки будут:

\((x - 16) \) см и \( (1,5x - 16)\) см.

Высота коробки равна \(8\) см.

Составим уравнение:

\((x - 16)(1,5x - 16) \cdot 8 = 6080\)    \(/ : 8\)

\((x - 16)(1,5x - 16) = 760\)

\(1,5x^2 - 16x - 24x + 256 - 760 = 0\)

\(1,5x^2 - 40x - 504 = 0\)   \( / \times2\)

\(3x^2 - 80x - 1008 = 0\)

\(a = 3\),  \(k=\frac{b}{2} = -40\),  \(c = -1008\)

\( D_1=k^2 - ac=\)

\(= (-40)^2 - 3 \cdot (-1008) =\)

\(=1600 + 3024 = 4624\),   \(\sqrt{D} = 68.\)

\(x_{1,2} = \frac{-k\pm \sqrt D}{a}\)

\(x = \frac{-(-40) + 68}{3} = \frac{108}{3} = 36\).

\(x_2 = \frac{-(-40) - 68}{3} = \frac{-28}{3} = -9\frac13\) - не удовлетворяет условию.

1) \(36\) (см) - ширина листа.

2) \(1,5 \cdot 36 = 54\) - длина листа.

Ответ: ширина листа картона \(36\) см}, а длина \(54\) см.

Пояснения:

Мы обозначили ширину картона за \(x\), а длину — \(1,5x\), так как по условию длина в \(1,5\) раза больше ширины.

После вырезания по углам квадратов со стороной \(8\) см размеры основания коробки уменьшаются на \(16\) см по каждому измерению.

Формула объёма прямоугольного параллелепипеда:

\(V = a \cdot b \cdot h\),

где \(a\) и \(b\) - длина и ширина основания, \(h\) - высота.

Подставив данные, получили квадратное уравнение.

При решении квадратного уравнения использовали упрощенный дискриминант \(D_1=k^2-ac\) (для четного коэффициента \(b\)), так как числа получаются большие. Уравнение имеет два корня: \(36\) и \(-9\frac13\). Отрицательный корень не подходит, так как ширина не может быть отрицательным числом.

Значит, ширина картона равна \(36\) см, а длина равна:

\(1,5 \cdot 36 = 54\) см.

а) \(5{,}1 \leq a \leq 5{,}2\)

\(P = 4a\)

\(4 \cdot 5{,}1 \leq 4a \leq 4 \cdot 5{,}2\)

\(20{,}4 \leq 4a \leq 20{,}8\)

Ответ: периметр квадрата больше 20,4 см, но меньше 20,8 см.

б) \(15{,}6 \leq P \leq 15{,}8\)

\(a = \dfrac{P}{4}\)

\(\dfrac{15{,}6}{4} \leq \dfrac{P}{4} \leq \dfrac{15{,}8}{4}\)

\(3{,}9 \leq \dfrac{P}{4} \leq 3{,}95.\)

Ответ: сторона квадрата больше 3,9 см, но меньше 3,95 см.

Пояснения:

Основные формулы:

1) Периметр квадрата: \(P = 4a\), где \(a\) — длина стороны.

2) Длина стороны квадрата: \(a = \dfrac{P}{4}\), где \(P\) - периметр квадрата.

При оценке значений периметра и стороны использовали свойство неравенств:

Если части неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число, знак неравенства сохраняется.