Упражнение 685 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(\dfrac{(2x+1)(2x-3)}{4}=x^{2}-1\)  \(/\times4\)

\((2x+1)(2x-3)=4(x^{2}-1)\)

\(4x^{2}-6x+2x-3=4x^{2}-4\)

\(4x^{2}-6x+2x-3-4x^{2}+4=0\)

\(-4x+1=0\)

\(-4x=-1\)

\(x=\dfrac{-1}{-4}\)

\(x=\frac14\)

Ответ: \(\frac14\).

б) \(x^{2}-\dfrac{(2x-1)x}{2}=2\)  \(/\times2\)

\(2x^{2}-(2x-1)x=4\)

\(2x^{2}-2x^{2}+x=4\)

\(x=4\)

Ответ: \(4\).

Пояснения:

1) В обоих пунктах сначала избавляемся от знаменателя: умножаем уравнение на общий знаменатель, корни уравнения от этого не изменяются.

2) Далее раскрываем скобки и приводим подобные члены:

- Умножение многочлена на многочлен:

\((a + b)(c+d) = ac + ad + bc + bd\).

- Умножение одночлена на многочлен:

\(a(b+c) = ab + ac\).

4) После сокращения одинаковых слагаемых получаем линейное уравнения вида \(ax = b\), которое имеет корень: \(x = \frac{a}{b}\).

\[x^2 + px + 405 = 0\]

Пусть корни уравнения \(x_1\) и \( x_2\).

По теореме Виета:

\[ x_1 + x_2 = -p, \quad x_1 x_2 = 405. \]

\(( x_1 - x_2)^2 =144\)

\(x_1^2 - 2x_1x_2 + x_2^2 = 144\)

\(x_1^2 - 2\cdot405 + x_2^2 = 144\)

\(x_1^2 - 810 + x_2^2 = 144\)

\(x_1^2 + x_2^2 = 144 + 810\)

\(x_1^2 + x_2^2 = 954\)

\( x_1^2 + 2x_1x_2+ x_2^2 - 2x_1x_2 = 954\)

\((x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 = 954\)

\((-p)^2 - 2\cdot405 = 954\)

\(p^2 - 810 = 954\)

\(p^2 = 954 + 810\)

\(p^2 = 1764\)

\(p=\pm\sqrt{1764}\)

\(p = \pm42\)

Ответ: \(p = 42\) или \(p = -42.\)

Пояснения:

Использованные приемы и формулы:

- квадрат суммы и квадрат разности двух выражений:

\((x_1 + x_2) = x_1^2 + 2x_1x_2 + x_2^2\);

\((x_1 - x_2) = x_1^2 - 2x_1x_2 + x_2^2\).

- значение выражения не изменится, если к нему прибавить и вычесть одно и то же выражение, поэтому:

\( x_1^2 + x_2^2 =\)

\(=x_1^2 + 2x_1x_2+ x_2^2 - 2x_1x_2=\)

\(=(x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2\)

- теорема Виета:

\[ x_1 + x_2 = -p, \quad x_1 x_2 = q. \]