Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№689 учебника 2023-2025 (стр. 162):
Выясните, каково взаимное расположение в координатной плоскости графиков уравнений данной системы и сделайте вывод о том, имеет ли система решение, и, если имеет, то сколько:
а) \(\begin{cases}3x-y=5,\\[2pt] 3x+2y=8;\end{cases}\)
б) \(\begin{cases}2y-x=4,\\[2pt] y-2x=0;\end{cases}\)
в) \(\begin{cases}y=0{,}5x+2,\\[2pt] y=0{,}5x-4.\end{cases}\)
№689 учебника 2013-2022 (стр. 154):
Известно, что уравнение \[x^2 + px + q = 0\] имеет корни \(x_1\) и \(x_2\). Составьте квадратное уравнение, корнями которого являются числа \(\frac{x_1}{x_2}\) и \(\frac{x_2}{x_1}\).
№689 учебника 2023-2025 (стр. 162):
Вспомните:
№689 учебника 2013-2022 (стр. 154):
Вспомните:
№689 учебника 2023-2025 (стр. 162):
а) \(\begin{cases}3x-y=5,\\3x+2y=8\end{cases}\)
\(\begin{cases}y=3x-5,\\ 2y=-3x+8\end{cases}\)
\(\begin{cases}y=3x-5,\\ y=\frac{-3x+8}{2}\end{cases}\)
\(\begin{cases}y=3x-5,\\ y=-\frac{3}{2}x+\frac{8}{2}\end{cases}\)
\(\begin{cases}y=3x-5,\\ y=-1,5x+4\end{cases}\)
\( k_1=3\), \(k_2=-1,5\)
\(k_1\ne k_2\) - прямые пересекаются.
Ответ: одно решение.
б) \(\begin{cases}2y-x=4,\\[2pt] y-2x=0\end{cases}\)
\(\begin{cases}2y=x+4,\\[2pt] y=2x\end{cases}\)
\(\begin{cases}y=\frac{x+4}{2},\\[2pt] y=2x\end{cases}\)
\(\begin{cases}y=\frac{1}{2}x+\frac{4}{2},\\[2pt] y=2x\end{cases}\)
\(\begin{cases}y=0,5x+2,\\[2pt] y=2x\end{cases}\)
\( k_1=0,5\), \(k_2=2\)
\(k_1\ne k_2\) - прямые пересекаются.
Ответ: одно решение.
в) \(\begin{cases}y=0{,}5x+2,\\[2pt] y=0{,}5x-4\end{cases}\)
\(k_1=k_2 = 0,5\), \(b_1 \neq b_2 \) - прямые параллельны.
Ответ: решений нет.
Пояснения:
Линейное уравнение приводим к виду \(y=kx+b\). Если для двух уравнений системы:
\(1)\;k_1\ne k_2\) — прямые пересекаются, система имеет одно решение.
\(2)\;k_1=k_2,\;b_1\ne b_2\) — прямые параллельны, система не имеет решений.
\(3)\;k_1=k_2,\;b_1=b_2\) — прямые совпадают, система имеет бесконечно много решений.
№689 учебника 2013-2022 (стр. 154):
\(x^2 + px + q = 0\) имеет корни \(x_1\) и \(x_2\).
По теореме Виета:
\(x_1 + x_2 = -p\),
\(x_1 \cdot x_2 = q\).
1) \( \frac{x_1}{x_2}^{\color{blue}{\backslash x_1}}+ \frac{x_2}{x_1} ^{\color{blue}{\backslash x_2}} = \frac{x_1^2 + x_2^2}{x_1x_2}= \)
\(=\frac{x_1^2 +2x_1x_2+ x_2^2-2x_1x_2 }{x_1x_2}= \)
\(=\frac{(x_1+x_2)^2 - 2x_1x_2}{x_1x_2}= \)
\(=\frac{(-p)^2 - 2q}{q}=\frac{p^2 - 2q}{q} \)
2) \( \frac{x_1}{x_2} \cdot \frac{x_2}{x_1} = 1. \)
Новое уравнение:
\( x^2 - \frac{p^2 - 2q}{q}x + 1 = 0\) \(/\times q\)
\[ qx^2 - (p^2 - 2q)x + q = 0. \]
Ответ: \(qx^2 - (p^2 - 2q)x + q = 0. \)
Пояснения:
Чтобы составить новое уравнение, нужно найти сумму и произведение новых корней. Для этого используем теорему Виета:
\[ x_1+x_2 = -p, \quad x_1x_2 = q. \]
Сумму \(\frac{x_1}{x_2} + \frac{x_2}{x_1}\) выразили через \((x_1+x_2)^2 - 2x_1x_2\), произведение оказалось равно \(1\).
После подстановки по теореме Виета получили итоговое уравнение: \[ qx^2 - (p^2 - 2q)x + q = 0. \]
Вернуться к содержанию учебника