Упражнение 687 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(\begin{cases}2x-6y=10,\\ 8y=7-2x\end{cases}\)

\(\begin{cases}6y=2x-10,\\ 8y=-2x + 7;\end{cases}\)

\(\begin{cases}y=\frac{2x-10}{6},\\ y=\frac{-2x + 7}{8};\end{cases}\)

\(\begin{cases}y=\frac{2x}{6}-\frac{10}{6},\\ y=\frac{-2x}{8} + \frac{7}{8};\end{cases}\)

\(\begin{cases}y=\frac{1}{3}x-\frac{5}{3},\\ y=-\frac{1}{4}x + \frac{7}{8};\end{cases}\)

\( k_1=\tfrac13\), \(k_2=-\tfrac14\)

\(k_1\ne k_2\) - прямые пересекаются.

Ответ: одно решение.

б) \(\begin{cases}3x-12=8y,\\ 1{,}5x-4y=6   /\times 2 \end{cases}\)

\(\begin{cases} 8y = 3x-12,\\ 3x-8y=12 \end{cases}\)

\(\begin{cases}y = \frac{3x-12}{8},\\ 8y=3x-12 \end{cases}\)

\(\begin{cases}y = \frac{3x-12}{8},\\ y=\frac{3x-12}{8} \end{cases}\)

\(\begin{cases}y = \frac{3x-12}{8},\\ y=\frac{3x-12}{8} \end{cases}\)

\(\begin{cases}y = \frac{3}{8}x-\frac{12}{8},\\ y = \frac{3}{8}x-\frac{12}{8} \end{cases}\)

\(k_1=k_2 = \frac38\), \(b_1 = b_2 = \frac{12}{8}=\frac32\) - прямые совпадают.

Ответ: бесконечно много решений.

в) \(\begin{cases}y=4x,\\ x-8=-6y\end{cases}\) 

\(\begin{cases}y=4x,\\ 6y = -x+8\end{cases}\) 

\(\begin{cases}y=4x,\\ y = \frac{-x+8}{6}\end{cases}\) 

\(\begin{cases}y=4x,\\ y = -\frac{1}{6}x+\frac{8}{6}\end{cases}\) 

\( k_1=4\), \(k_2=-\tfrac16\)

\(k_1\ne k_2\) - прямые пересекаются.

Ответ: одно решение.

г) \(\begin{cases}x+y=5,\\ 3x-2y=8\end{cases}\)

\(\begin{cases}y=-x+5,\\ 2y=3x-8\end{cases}\)

\(\begin{cases}y=-x+5,\\ 2y=3x-8\end{cases}\)

\(\begin{cases}y=-x+5,\\ y=\frac{3x-8}{2}\end{cases}\)

\(\begin{cases}y=-x+5,\\ y=\frac{3}{2}x-\frac{8}{2}\end{cases}\)

\(\begin{cases}y=-x+5,\\ y=1,5x-4\end{cases}\)

\( k_1=-1\), \(k_2=1,5\)

\(k_1\ne k_2\) - прямые пересекаются.

Ответ: одно решение.

д) \(\begin{cases}3-3y=4x,\\ -8x=6y-6\end{cases}\) 

\(\begin{cases}3y=-4x+3,\\ 6y=-8x+6\end{cases}\) 

\(\begin{cases}y=\frac{-4x+3}{3},\\ y=\frac{-8x+6}{6}\end{cases}\) 

\(\begin{cases}y=-\frac{4}{3}x+\frac{3}{3},\\ y=-\frac{8}{6}x+\frac{6}{6}\end{cases}\) 

\(\begin{cases}y=-\frac{4}{3}x+1,\\ y=-\frac{4}{3}x+1\end{cases}\)

\(k_1=k_2 = -\frac43\), \(b_1 = b_2 = 1\) - прямые совпадают.

Ответ: бесконечно много решений.

е) \(\begin{cases}x+4y=5,\\ x-y+3=0.\end{cases}\)

\(\begin{cases}4y=-x+5,\\ y=x+3.\end{cases}\)

\(\begin{cases}y=\frac{-x+5}{4},\\ y=x+3.\end{cases}\)

\(\begin{cases}y=-\frac{1}{4}x+\frac{5}{4},\\ y=x+3.\end{cases}\)

\( k_1=-\frac14\), \(k_2=1\)

\(k_1\ne k_2\) - прямые пересекаются.

Ответ: одно решение.

Пояснения:

Линейное уравнение приводим к виду \(y=kx+b\). Если для двух уравнений системы:

\(1)\;k_1\ne k_2\) — прямые пересекаются, система имеет одно решение.

\(2)\;k_1=k_2,\;b_1\ne b_2\) — прямые параллельны, система не имеет решений.

\(3)\;k_1=k_2,\;b_1=b_2\) — прямые совпадают, система имеет бесконечно много решений.

\[x^2 - 8x + k = 0\]

\(x_1\) и \(x_2\) - корни уравнения.

\(3x_1 + 4x_2 = 29\)

По теореме Виета:

\[ x_1 + x_2 = 8, \quad x_1 x_2 = k. \]

Составим систему:

\( \begin{cases} 3x_1 + 4x_2 = 29 \\ x_1 + x_2 = 8 \end{cases} \)

\( \begin{cases} 3(8 - x_2) + 4x_2 = 29 \\ x_1 = 8 - x_2 \end{cases} \)

\(3(8 - x_2) + 4x_2 = 29\)

\(24 - 3x_2 + 4x_2 = 29\)

\(x_2 = 29 - 24\)

\(x_2 = 5\)

\( x_1 = 8 - 5 = 3\)

\( k = x_1 \cdot x_2 = 3 \cdot 5 = 15. \)

Ответ: \(k = 15.\)

Пояснения:

Мы использовали теорему Виета:

\(x_1+x_2=8\), \(x_1x_2=k\).

Учитывая то, что \(3x_1+4x_2=29\) составили систему уравнений:

\( \begin{cases} 3x_1 + 4x_2 = 29 \\ x_1 + x_2 = 8 \end{cases} \)

Решили систему способом подстановки и нашли \(x_1\) и \(x_2\).

После этого использовали произведение корней для нахождения \(k\).