Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№686 учебника 2023-2025 (стр. 160):
Упростите выражение:
а) \(\dfrac{x^{2}-1}{6x^{2}}:\dfrac{x^{2}+x}{3}\);
б) \(\dfrac{16n^{2}-1}{n^{2}-2n}:\dfrac{8n}{3n-6}\);
в) \(\dfrac{x-4}{y^{2}-xy}:\dfrac{5x-20}{x^{2}-xy}\).
№686 учебника 2013-2022 (стр. 154):
Известно, что \(x_1\) и \(x_2\) — корни уравнения \[3x^2 + 2x + k = 0,\] причём \(2x_1 = -3x_2\). Найдите \(k\).
№686 учебника 2023-2025 (стр. 160):
Вспомните:
№686 учебника 2013-2022 (стр. 154):
Вспомните:
№686 учебника 2023-2025 (стр. 160):
а) \(\dfrac{x^{2}-1}{6x^{2}}:\dfrac{x^{2}+x}{3} =\)
\(=\dfrac{x^{2}-1}{6x^{2}}\cdot\dfrac{3}{x^{2}+x} =\)
\(=\dfrac{(x-1)\cancel{(x+1)}\cdot\cancel3}{_2\cancel6x^{2}\cdot x\cancel{(x+1)}} =\dfrac{x-1}{2x^{3}}\).
б) \(\dfrac{16n^{2}-1}{n^{2}-2n}:\dfrac{8n}{3n-6} =\)
\(\dfrac{16n^{2}-1}{n^{2}-2n}\cdot\dfrac{3n-6}{8n} =\)
\(=\dfrac{(4n-1)(4n+1)\cdot3\cancel{(n-2)}}{n\cancel{(n-2)}\cdot8n}=\)
\(=\dfrac{3(16n^2-1)}{8n^{2}}=\dfrac{48n^2-3}{8n^{2}}\).
в) \(\dfrac{x-4}{y^{2}-xy}:\dfrac{5x-20}{x^{2}-xy} =\)
\(=\dfrac{x-4}{y^{2}-xy}\cdot\dfrac{x^{2}-xy}{5x-20} =\)
\(=\dfrac{\cancel{(x-4)}\cdot x\cancel{(x-y)}}{-y\cancel{(x-y)}\cdot 5\cancel{(x-4)}} =-\,\dfrac{x}{5y}\).
Пояснения:
1) Деление дробей заменяем умножением на обратную дробь: \[ \dfrac{A}{B}:\dfrac{C}{D}=\dfrac{A}{B}\cdot\dfrac{D}{C}. \] Далее раскладываем многочлены на множители и сокращаем общие множители.
2) Приемы разложения:
- Разность квадратов двух выражений:
\(a^2 - b^2 = (a-b) (a+b)\).
- вынесение множителя за скобки:
\(ka-kb = k(a-b)\);
\(ka-kb=-k(b-a)\).
№686 учебника 2013-2022 (стр. 154):
\[3x^2 + 2x + k = 0,\]
\( 2x_1 = -3x_2\)
По теореме Виета:
\( x_1 + x_2 = -\frac{2}{3}, \quad x_1x_2 = \frac{k}{3}\)
Составим систему уравнений:
\( \begin{cases} 2x_1 = -3x_2 \\ x_1 + x_2 = -\frac{2}{3} \end{cases} \)
\( \begin{cases} x_1 = -\frac{3}{2}x_2 \\ x_2 -\frac{3}{2}x_2= -\frac{2}{3} \end{cases} \)
\(x_2 -\frac{3}{2}x_2= -\frac{2}{3} \) \(/\times6\)
\(6x_2-9x_2 = - 4\)
\(-3x_2 = -4\)
\(x_2 = \frac{-4}{-3}\)
\(x_2 = \frac{4}{3}\)
\(x_1 = -\frac{\cancel3}{\cancel2}\cdot \frac{\cancel4 ^2}{\cancel3} =-2\)
\(x_1x_2 = \frac{k}{3}\) \(/\times6\)
\(3x_1x_2 = k\)
\(3\cdot(-2)\cdot\frac43=k\)
\(k = -^2\cancel6\cdot\frac{4}{\cancel3}\)
\(k = -8\)
Ответ: \(k = -8.\)
Пояснения:
Мы использовали теорему Виета: \[ x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}, \quad x_1x_2 = \frac{c}{a}. \]
Учитывая то, что \(2x_1 = -3x_2\) составили систему уравнений:
\( \begin{cases} 2x_1 = -3x_2 \\ x_1 + x_2 = -\frac{2}{3} \end{cases} \).
Решили систему способом подстановки и нашли \(x_1\) и \(x_2\).
После этого использовали произведение корней для нахождения \(k\).
Вернуться к содержанию учебника