Упражнение 677 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(\;3x-2y=5\)

\(2y=3x-5\)

\(y=\dfrac{3x-5}{2}\)

\(y=\dfrac{3x}{2} - \dfrac52\)

\(y = 1,5x - 2,5\)

б) \(\;x+2y-3=0\)

\(2y = - x+3\)

\(y=\dfrac{-x+3}{2}\)

\(y=-\dfrac12x+\dfrac32\)

\(y=-0,5x + 1,5\)

в) \(\;3x-4y=-1\)

\(-4y=-3x-1\)

\(y=\dfrac{3x+1}{4}\)

\(y=\dfrac34x+\dfrac14.\)

Пояснения:

Любой график уравнения вида

\(\;Ax+By=C\) — прямая. Удобно привести к виду \(\;y=kx+b\) и строить по двум точкам.

Свойства уравнения:

- если какое-либо слагаемое перенести из одной части уравнения в другую, изменив при этом его знак на противоположный, то получим уравнение, имеющее те же решения, что и данное;

- если обе части уравнения умножить (разделить) на одно и то же отличное от нуля число, то получим уравнение, имеющее те же решения, что и данное.

\[5x^2 - 12x + c = 0\]

\(a =3\),  \(b = -12\),  \(c - ?\)

Пусть корни уравнения \(x_1\) и \(x_2\).

\(x_2 = 3x_1\)

По теореме Виета: \[ x_1 + x_2 = \frac{12}{5}, \quad x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{5}. \]

Составим систему уравнений:

\( \begin{cases} x_1 + 3x_1 = \tfrac{12}{5} \\ x_1 \cdot 3x_1 = \frac{с}{5} \end{cases} \)

\( \begin{cases} 4x_1 = \tfrac{12}{5} /\times5 \\ 3x_1^2 = \frac{с}{5} /\times5 \end{cases} \)

\( \begin{cases} 20x_1 = 12 \\ 15x_1^2 = c \end{cases} \)

\( \begin{cases} x_1 = \frac{12}{20} \\ c=15x_1^2 \end{cases} \)

\( \begin{cases} x_1 = \frac{3}{5} \\ c={15}\cdot(\frac{3}{5})^2 \end{cases} \)

\( \begin{cases} x_1 = \frac{3}{5} \\ c=  ^3\cancel{15}\cdot\frac{9}{\cancel{25}  _5} \end{cases} \)

\( \begin{cases} x_1 = \frac{3}{5} \\ c=\frac{27}{5} \end{cases} \)

\( \begin{cases} x_1 = 0,6 \\ c=5,4 \end{cases} \)

Ответ: \(c=5,4\)

Пояснения:

Один из корней уравнения в 3 раза больше другого, тогда, если \(x_1\) - меньший корень, то \(x_2 = 3x_1\).

Использовали теорему Виета: \[ x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}, \quad x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}. \]

Для уравнения \(5x^2 - 12x + c = 0\): \(-\frac{b}{a} = \frac{12}{5}, \quad \frac{c}{a} = \frac{c}{5}.\)

Составили систему уравнений, учитывая то, что \(x_2 = 3x_1\). Решив систему способом подстановки нашли, что \(c =5,4.\)