Упражнение 657 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

Пусть в отделе работает \(x\) сотрудников. Тогда каждый должен заплатить: \(\dfrac{14400}{x}\) р., после отказа троих, каждый из оставшихся должен заплатить: \(\dfrac{14400}{x-3}\) р.

Составим уравнение:

\(\frac{14400}{x-3}-\frac{14400}{x}=400\) \(/\times x(x-3)\)

ОДЗ: \(x \neq0\)  и  \( x - 3 \neq0\)

                          \(x \neq 3\)

\(14 400x -14 400(x-3) = 400x(x-3)\)

\(\cancel{14 400x} -\cancel{14 400x} + 43200 = 400x^2 -1200x\)

\(400x^2-1200x - 43200 = 0\)   \(/ : 400\)

\(x^2 - 3x - 108 = 0\)

\(a = 1\),  \(b = -3\),  \(c = -108\)

\(D = b^2 - 4ac =\)

\(=(-3)^2 - 4\cdot1\cdot (-108) = \)

\( = 9 + 432 = 441\),    \(\sqrt D = 21\).

\( x_{1,2} = \frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}\).

\( x_1 = \frac{-(-3)+21}{2\cdot1}=\frac{24}{2}=12\).

\( x_2 = \frac{-(-3)-21}{2\cdot1}=\frac{-18}{2}=-9\) - не удовлетворяет условию (\(x>0\)).

Ответ: в отделе работает 12 сотрудников.

Пояснения:

Чтобы узнать, сколько должен заплатить за холодильник каждый, нужно разделить общую стоимость холодильника на количество сотрудников отдела. Стоимость холодильника 14 400 р. Если в отделе работает \(x\) сотрудников, то каждый должен заплатить: \(\dfrac{14400}{x}\) р., после отказа троих, каждому из оставшихся придется заплатить \(\dfrac{14400}{x-3}\) р. После отказа троих остальным пришлось уплатить на 400 р. больше, чем предполагалось. Получается, можем составить следующее дробное рациональное уравнение:

\(\frac{14400}{x-3}-\frac{14400}{x}=400\).

Алгоритм решения дробного рационального уравнений:

1) найти ОДЗ (область допустимых значений), то есть те значения переменной, при которых знаменатель обращается в нуль;

2) найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение;

3) умножить обе части уравнения на общий знаменатель;

4) решить получившееся целое уравнение;

5) исключить из его корней те, которые совпадают с ОДЗ.

После того как обе части уравнения домножили на общий знаменатель и выполнили преобразования, получили полное квадратное уравнение

\(x^2 - 3x - 108 = 0\), у которого дискриминант больше нуля, следовательно, имеем два корня уравнения:

\(x_1 = 12\) и \(x_2 = -9\).

Отрицательный корень не подходит, так как количество человек не может быть отрицательным числом.

Значит, в отделе работает 12 сотрудников.

а) \(x^2-2x-2=0\)

\(a = 1\),  \(b = -2\),  \(c = -2\)

\( D=b^2 - 4ac=\)

\(=(-2)^2-4\cdot 1\cdot (-2)=\)

\(=4+8=12 \).

\(\sqrt D = \sqrt 12 = \sqrt{4\cdot 3} = 2\sqrt3\)

\(x_{1,2} = \frac{-b\pm \sqrt D}{2a}=\frac{2\pm 2\sqrt{3}}{2}=\)

\(=\frac{\cancel2(1\pm \sqrt{3})}{\cancel2}=1\pm \sqrt{3} \)

\( x_1=1+\sqrt{3}\approx 2,73,\)

\(x_2=1-\sqrt{3}\approx -0,73 \)

Ответ: \(\approx2,73\); \(\approx-0,73\).

б) \(x^2+5x+3=0\)

\(a = 1\),  \(b = 5\),  \(c = 3\)

\( D=b^2 - 4ac=5^2 - 4\cdot1\cdot3=\)

\(=25-12=13 \),    \(\sqrt D = \sqrt{13}\).

\(x_{1,2} = \frac{-b\pm \sqrt D}{2a}=\frac{-5\pm \sqrt{13}}{2} \)

\( x_1=\frac{-5+\sqrt{13}}{2}\approx -0,70\)

\( x_2=\frac{-5-\sqrt{13}}{2}\approx -4,30 \)

Ответ: \(\approx-0,70\); \(\approx-4,30\).

в) \(3x^2-7x+3=0\)

\(a = 3\),  \(b = -7\),  \(c = 3\)

\( D=b^2 - 4ac=(-7)^2-4\cdot 3\cdot 3=\)

\(=49-36=13 \),     \(\sqrt D = \sqrt{13}\).

\(x_{1,2} = \frac{-b\pm \sqrt D}{2a}=\frac{7\pm \sqrt{13}}{6} \)

\( x_1=\frac{7+\sqrt{13}}{6}\approx 1.77,\)

\( x_2=\frac{7-\sqrt{13}}{6}\approx 0,57 \)

Ответ: \(\approx 1,77;\) \(\approx 0,57 \).

г) \(5x^2+31x+20=0\)

\(a = 5\),  \(b = 31\),  \(c = 20\)

\( D=b^2 - 4ac=31^2-4\cdot 5\cdot 20=\)

\(=961-400=561 \),    \(\sqrt D = \sqrt{561}\).

\(x_{1,2} = \frac{-b\pm \sqrt D}{2a}=\frac{-31\pm \sqrt{561}}{10} \)

\( x_1=\frac{-31+\sqrt{561}}{10}\approx -0,73,\)

\( x_2=\frac{-31-\sqrt{561}}{10}\approx -5,47 \)

Ответ: \(\approx -0,73;\) \(\approx -5,47 \).

Пояснения:

Количество корней квадратного уравнения \(ax^2+bx+c=0\) зависит от дискриминанта. Формула дискриминанта:

\(D=b^2-4ac\).

– если \(D>0\), то уравнение имеет два корня:

\(x_1 =\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}\);

\(x_2 =\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}\).

Свойство арифметического корня:

\(\sqrt{ab} = \sqrt a \cdot \sqrt b\).

Вычисления приближенных значений корней уравнений выполняем на калькуляторе.