Упражнение 627 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

\(y = x - 4\) - прямая, область определения которой все числа.

\(y=\dfrac{x^{2}-6x+8}{x-2}=\)

\(=\dfrac{\cancel{(x-2)}(x-4)}{\cancel{x-2}}=\)

\(=x-4,\quad x\ne2 \) - прямая, область определения все числа, кроме 2.

\(x^{2}-6x+8 = 0\)

\(a = 1\),  \(b = -6\),  \(c=8\)

\(D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4\cdot1\cdot8 =\)

\( = 36 - 32 = 4\),   \(\sqrt D = 2\).

\(x_{1,2}=\dfrac{-b\pm\sqrt D}{2a}\)

\(x_1=\dfrac{-(-6)+2}{2\cdot1}=\frac{8}{2}=4\),

\(x_2=\dfrac{-(-6)-2}{2\cdot1}=\frac{4}{2}=2\).

\(x^{2}-6x+8 = (x-4)(x-2)\).

Ответ: это одна и та же прямая, но у второй функции на ней «выколота» точка \((2,-2)\).

Пояснения:

Чтобы определить чем различаются графики функций

\(y = x - 4\) и \(y=\dfrac{x^{2}-6x+8}{x-2}\),

преобразуем вторую функцию (сократим дробь).

Чтобы сократить дробь, раскладываем ее числитель на множители, и сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя.

Если квадратный трехчлен

\(ax^2 + bx+c\) имеет корни, то его можно разложить на множители

\(ax^2 + bx+c=a(x - x_1)(x-x_2)\),

где  \(x_1\) и \(x_2\) - корни квадратного трёхчлена.

Поэтому при разложении в числителе получили:

\(x^{2}-6x+8=(x-2)(x-4)\) и сократили общий множитель числителя и знаменателя \(x-2\). Однако при сокращении нужно учитывать область допустимых значений: в исходной дроби \(x\ne2\), поэтому после сокращения получаем тождество

\(y=x-4\) только для \(x\ne2\).

— У первой функции область определения — все \числа, график — непрерывная прямая, содержащая точку \((2,-2)\).

— У второй функции область определения — все числа, кроме 2; в точке \(x=2\) функция не определена, поэтому на прямой \(y=x-4\) "выколота" точка \((2,-2)\).

Составим уравнение:

\(\frac{15}{x}-\frac{6}{x-2}=1\)  \(/\times x(x-2)\)

ОДЗ: \(x \neq0\)  и  \( x - 2 \neq0\)

                          \(x \neq 2\)

\(15(x-2)-6x=x(x-2)\)

\(15x-30-6x=x^2-2x\)

\(9x-30=x^2-2x\)

\(x^2-2x-9x+30=0\)

\(x^{2}-11x+30=0\)

\(a = 1\),  \(b = -11\),  \(c = 30\)

\(D = b^2 - 4ac =\)

\(=(-11)2 - 4\cdot1\cdot30 =\)

\(=121 - 120 = 1\),     \(\sqrt D = 1\).

\( x_{1,2} = \frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}\).

\( x_1 = \frac{-(-11)+1}{2\cdot1}=\frac{12}{2}=6\).

\( x_1 = \frac{-(-11)-1}{2\cdot1}=\frac{10}{2}=5\).

Ответ: скорость лодки при движении по озеру 5 км/ч или 6 км/ч.

Пояснения:

Использовано \(t=\dfrac{S}{v}\). На озере скорость лодки равна собственной \(x\); против течения скорость относительно берега уменьшается: \(x-2\). Время в пути по реке \(\displaystyle t_{\text{р}}=\frac{6}{x-2}\), по озеру \(\displaystyle t_{\text{о}}=\frac{15}{x}\). Условие «на озере на \(1\) ч больше» даёт дробное рациональное уравнение:

\(\dfrac{15}{x}-\dfrac{6}{x-2}=1\).

Алгоритм решения дробного рационального уравнений:

1) найти ОДЗ (область допустимых значений), то есть те значения переменной, при которых знаменатель обращается в нуль;

2) найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение;

3) умножить обе части уравнения на общий знаменатель;

4) решить получившееся целое уравнение;

5) исключить из его корней те, которые совпадают с ОДЗ.

После того как обе части уравнения домножили на общий знаменатель и выполнили преобразования, получили полное квадратное уравнение

\(x^{2}-11x+30=0\), у которого дискриминант больше нуля, следовательно, имеем два корня уравнения:

\(x_1 = 6\) и \(x_2 = 5\).

Оба корня удовлетворяют условиям задачи, значит, скорость лодки при движении по озеру может быть 5 км/ч или 6 км/ч.