Упражнение 624 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(\dfrac{4x+4}{3x^{2}+2x-1}=\dfrac{4\cancel{(x+1)}}{(3x-1)\cancel{(x+1)}}=\)

\(=\dfrac{4}{3x-1}\).

\(3x^{2}+2x-1=0\)

\(a = 3\),  \(b = 2\),  \(c = -1\)

\(D=b^{2}-4ac= 2^2 - 4\cdot3\cdot(-1)=\)

\(=4 + 12 = 16\),     \(\sqrt D = 4\).

\(x_{1,2}=\dfrac{-b\pm\sqrt D}{2a}\)

\(x_{1}=\dfrac{-2+4}{2\cdot3}=\frac26=\frac13\),

\(x_{2}=\dfrac{-2-4}{2\cdot3}=\frac{-6}{6}=-1\).

\(3x^{2}+2x-1=3(x-\frac13)(x+1)=\)

\(=(3x-1)(x+1)\).

б) \(\dfrac{2a^{2}-5a-3}{3a-9}=\dfrac{\cancel{(a-3)}(2a+1)}{3\cancel{(a-3)}}=\)

\(=\dfrac{2a+1}{3}\).

\(2a^{2}-5a-3=0\)

\(a = 2\),  \(b = -5\),  \(c = -3\)

\(D=b^{2}-4ac=\)

\(=(-5)^2 -4\cdot2\cdot(-3)=\)

\(=25 + 24 = 49\),     \(\sqrt D = 7\).

\(a_{1,2}=\dfrac{-b\pm\sqrt D}{2a}\)

\(a_{1}=\dfrac{-(-5)+7}{2\cdot2}=\frac{12}{4}=3\),

\(a_{2}=\dfrac{-(-5)-7}{2\cdot2}=\frac{-2}{4}=-\frac12\).

\(2a^{2}-5a-3=2(a - 3)(a + \frac12)=\)

\(=(a - 3)(2a+1)\).

в) \(\dfrac{16-b^{2}}{b^{2}-b-12}=\dfrac{(4-b)(4+b)}{(b-4)(b+3)}=\)

\(=\dfrac{-\cancel{(b-4)}(b+4)}{\cancel{(b-4)}(b+3)}=-\dfrac{b+4}{b+3}\).

\(b^{2}-b-12 = 0\)

\(a = 1\),  \(b = -1\),  \(c = -12\)

\(D=b^{2}-4ac=\)

\(=(-1)^2 - 4\cdot1\cdot(-12)=\)

\(=1 + 48 = 49\),     \(\sqrt D = 7\).

\(b_{1,2}=\dfrac{-b\pm\sqrt D}{2a}\)

\(b_{1}=\dfrac{-(-1)+7}{2\cdot1}=\frac{8}{2}=4\),

\(b_{2}=\dfrac{-(-1)-7}{2\cdot1}=\frac{-6}{2}=-3\).

\(b^{2}-b-12 = (b-4)(b + 3)\).

г) \(\dfrac{2y^{2}+7y+3}{y^{2}-9}=\dfrac{(2y+1)\cancel{(y+3)}}{(y-3)\cancel{(y+3)}}=\)

\(=\dfrac{2y+1}{y-3}\).

\(2y^{2}+7y+3= 0\)

\(a = 2\),  \(b = 7\),  \(c = 3\)

\(D=b^{2}-4ac=(7)^2 - 4\cdot2\cdot3=\)

\(=49 - 24 = 25\),    \(\sqrt D = 5\).

\(y_{1,2}=\dfrac{-b\pm\sqrt D}{2a}\)

\(y_{1}=\dfrac{-7+5}{2\cdot2}=\frac{-2}{4}=-\frac12\),

\(y_{2}=\dfrac{-7-5}{2\cdot2}=\frac{-12}{4}=-3\).

\(2y^{2}+7y+3=2(y+\frac12)(y +3)=\)

\(=(2y + 1)(y+3)\).

д) \(\dfrac{p^{2}-11p+10}{20+8p-p^{2}}=\dfrac{\cancel{(p-10)}(p-1)}{-\cancel{(p-10)}(p+2)}=\)

\(=-\dfrac{p-1}{p+2}\).

1) \(p^{2}-11p+10=0\)

\(a = 1\),  \(b = -11\),  \(c = 10\)

\(D=b^{2}-4ac=\)

\(=(-11)^2 - 4\cdot1\cdot10=\)

\(=1121 - 40 = 81\),    \(\sqrt D = 9\).

\(p_{1,2}=\dfrac{-b\pm\sqrt D}{2a}\)

\(p_{1}=\dfrac{-(-11)+9}{2\cdot1}=\frac{20}{2}=10\),

\(p_{2}=\dfrac{-(-11)-9}{2\cdot1}=\frac{2}{2}=1\).

\(p^{2}-11p+10=(p-10)(p-1)\).

2) \(20+8p-p^{2}=0\)    \(/\times (-1)\)

\(p^2 - 8p - 20 = 0\)

\(a = 1\),  \(b = -8\),  \(c = -20\)

\(D=b^{2}-4ac=\)

\(=(-8)^2 - 4\cdot1\cdot(-20) =\)

\( =64 +80 = 144\),    \(\sqrt D = 12\).

\(p_{1,2}=\dfrac{-b\pm\sqrt D}{2a}\)

\(p_{1}=\dfrac{-(-8)+12}{2\cdot1}=\frac{20}{2}=10\),

\(p_{2}=\dfrac{-(-8)-12}{2\cdot1}=\frac{-4}{2}=-2\).

\(20+8p-p^{2} = -(p-10)(p+2)\).

е) \(\dfrac{3x^{2}+16x-12}{10-13x-3x^{2}}=\dfrac{\cancel{(3x-2)}(x+6)}{-\cancel{(3x-2)}(x+5)}=\)

\(-\dfrac{x+6}{x+5}\).

1) \(3x^{2}+16x-12 = 0\)

\(a = 3\),  \(b = 16\),  \(c = -12\)

\(D=b^{2}-4ac=\)

\(=16^2 - 4\cdot3\cdot(-12=\)

\(=256 + 144= 400\),    \(\sqrt D = 20\).

\(x_{1,2}=\dfrac{-b\pm\sqrt D}{2a}\)

\(x_{1}=\dfrac{-16+20}{2\cdot3}=\frac{4}{6}=\frac23\),

\(x_{2}=\dfrac{-16-20}{2\cdot3}=\frac{-36}{6}=-6\).

\(3x^{2}+16x-12 =\)

\(=3(x - \frac23)(x+6)=\)

\(=(3x-2)(x + 6)\).

2) \(10-13x-3x^{2} =0\)   \(/\times (-1)\)

\(3x^2 + 13x -10 = 0\)

\(a = 3\),  \(b = 13\),  \(c = -10\)

\(D=b^{2}-4ac=\)

\(=13^2 - 4\cdot3\cdot(-10)=\)

\(=169 + 120 = 289\),    \(\sqrt D = 17\).

\(x_{1,2}=\dfrac{-b\pm\sqrt D}{2a}\)

\(x_{1}=\dfrac{-13+17}{2\cdot3}=\frac{4}{6}=\frac23\),

\(x_{1}=\dfrac{-13-17}{2\cdot3}=\frac{-30}{6}=-5\).

\(10-13x-3x^{2} = \)

\(=-3(x-\frac23)(x+5)=\)

\(=-(3x-2)(x+5)\).

Пояснения:

Чтобы сократить дробь, раскладываем ее числитель и знаменатель на множители,если это возможно, и сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя.

Использованные приемы:

1) Если квадратный трехчлен

\(ax^2 + bx+c\) имеет корни, то его можно разложить на множители

\(ax^2 + bx+c=a(x - x_1)(x-x_2)\),

где  \(x_1\) и \(x_2\) - корни квадратного трёхчлена.

2) Корни уравнения не изменяются, если обе его части разделить или умножить на одно и то же число.

3) Разность квадратов двух выражений:

\(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\).

4) Вынесение общего множителя за скобки:

\(ka + kb = k(a +b)\).

5) Противоположные выражения:

\(a - b = -(b - a)\).

Составим уравнение:

\( \frac{110000}{x-20}-\frac{110000}{x}=50\) \(/\times x(x-20)\)

ОДЗ: \(x \neq0\)  и  \( x - 20 \neq0\)

                          \(x \neq 20\)

\(110 000x - 110 000(x-20) = 50x(x-20)\)

\(\cancel{110 000 x} - \cancel{110 000x} + 2 200 000 = 50x^2-1000x\)

\(50x^2 - 1000x - 2 200 000 = 0\)   \(/ : 50\)

\(x^2 - 20x - 44 000 = 0\)

\(a = 1\),  \(b = -20\),  \(c = -44 000\)

\(D = b^2 - 4ac =\)

\(=(-20)^2 - 4\cdot1\cdot(-44 000)=\)

\(=400+176000=176400\),

\(\sqrt D=420\).

\( x_{1,2} = \frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}\).

\( x_1 = \frac{-(-20)+420}{2\cdot1}=\frac{440}{2}=220\).

\( x_1 = \frac{-(-20)-420}{2\cdot1}=\frac{-400}{2}=-200\) - не удовлетворяет условию (\(x>0\)).

Ответ: предприниматель приобрел \(220\) акций.

Пояснения:

Цена одной акции равна отношению общей суммы к числу акций: \(\frac{110000}{x}\). После подорожания на \(50\) р за ту же сумму купили бы \(x-20\) акций, значит новая цена \(\displaystyle \frac{110000}{x-20}\) и она на \(50\) больше прежней, значит, можем составить следующее дробное рациональное уравнение:

\(\displaystyle \frac{110000}{x-20}-\frac{110000}{x}=50\).

Алгоритм решения дробного рационального уравнений:

1) найти ОДЗ (область допустимых значений), то есть те значения переменной, при которых знаменатель обращается в нуль;

2) найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение;

3) умножить обе части уравнения на общий знаменатель;

4) решить получившееся целое уравнение;

5) исключить из его корней те, которые совпадают с ОДЗ.

После того как обе части уравнения домножили на общий знаменатель и выполнили преобразования, получили полное квадратное уравнение

\(x^2 - 20x - 44 000 = 0\), у которого дискриминант больше нуля, следовательно, имеем два корня уравнения:

\(x_1 = 220\) и \(x_2 = -200\).

Отрицательный корень не подходит, так как количество акций не может быть отрицательным числом.

Значит, предприниматель приобрел \(220\) акций.