Упражнение 594 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \((3x+1)^2=3x+1\)

\(9x^2 + 6x + 1 - 3x -1 = 0\)

\(9x^2 + 3x= 0\)

\(x(9x+3)=0\)

\(x = 0\)   или   \(9x + 3 = 0\)

                       \(9x = -3\)

                       \(x = -\frac39\)

                       \(x = -\frac13\)

Ответ: \(0;  -\frac13\).

б) \((3x+1)^2=3(x+1)\)

\(9x^2+6x+1 = 3x + 3\)

\(9x^2 + 6x + 1 - 3x - 3 = 0\)

\(9x^2 +3x -2 = 0\)

\(a = 9\),  \(b = 3\),  \(c = -2\)

\(D=b^2 - 4ac = 3^2 - 4\cdot9\cdot(-2) =\)

\(=9 + 72 = 81\);   \(\sqrt{81} = 9\).

\(x_{1,2} = \frac{-b + \sqrt D}{2a}\)

\(x_1 = \frac{-3 + 9}{2\cdot9}=\frac{6}{18} = \frac13\)

\(x_1 = \frac{-3 - 9}{2\cdot9}=\frac{-12}{18} = -\frac23\)

Ответ: \(\frac13;  -\frac23\).

в) \((3x+1)^2=(2x-5)^2\)

\(9x^2 + 6x + 1 = 4x^2 -20x + 25\)

\(9x^2 + 6x + 1 - 4x^2 +20x - 25=0\)

\(5x^2 + 26x -24 = 0\)

\(a = 5\),  \(b = 26\),  \(c = -24\)

\(D=b^2 - 4ac =\)

\(=26^2 - 4\cdot5\cdot(-24)=\)

\(=676 + 480 = 1156\);    \(\sqrt D = 34\).

\(x_{1,2} = \frac{-b + \sqrt D}{2a}\)

\(x_1 = \frac{-26 + 34}{2\cdot5}=\frac{8}{10} = 0,8\)

\(x_2 = \frac{-26 - 34}{2\cdot5}=\frac{-60}{10} = -6\)

Ответ: \(0,8;  -6\).

г) \((3x+4)^2=4(x+3)\)

\( 9x^2+24x+16=4x+12\)

\( 9x^2+24x+16-4x-12=0\)

\(9x^2+20x+4=0\)

\(a = 9\),  \(b = 20\),  \(c = 4\)

\(D=b^2 - 4ac =20^2-4\cdot9\cdot4=\)

\(=400 - 144=256\);    \(\sqrt D=16.\)

\(x_{1,2} = \frac{-b + \sqrt D}{2a}\)

\(x_1 = \frac{-20 + 16}{2\cdot9}=\frac{-4}{18} = -\frac29\)

\(x_2 = \frac{-20 - 16}{2\cdot9}=\frac{-36}{18} = -2\)

Ответ: \(-\frac29;  -2\).

д) \(4(x+3)^2=(2x+6)^2\)

\(4(x^2+6x+9)=4x^2+24x + 36\)

\(4x^2 + 24x +36 - 4x^2-24x-36=0\)

\(0=0\)

Ответ: \(x\) - любое число.

е) \((6x+3)^2=(x-4)^2\)

\(36x^2 + 36x + 9 = x^2-8x + 16\)

\(36x^2 + 36x + 9 - x^2+8x - 16=0\)

\(35x^2 + 44x -7=0\)

(a = 35\),  \(b = 44\),  \(c = -7\)

\(D=b^2 - 4ac =\)

\(=44^2 - 4\cdot35\cdot(-7)=\)

\(=1936 + 980 = 2916\);   \(\sqrt D = 54\).

\(x_{1,2} = \frac{-b + \sqrt D}{2a}\)

\(x_1 = \frac{-44 + 54}{2\cdot35}=\frac{10}{70} = \frac17\)

\(x_2 = \frac{-44 - 54}{2\cdot35}=\frac{-98}{70} =\)

\(=-\frac75=-1,4\)

Ответ: \( \frac17;  -1,4\).

Пояснения:

В каждом уравнении сначала раскрываем скобки, переносим слагаемые из правой части уравнения в левую со сменой знаков и приводим подобные слагаемые.

Приемы и формулы, использованные при раскрытии скобок:

- Квадрат суммы двух выражений:

\((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\).

- Квадрат разности двух выражений:

\((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\).

- Распределительное свойство умножения:

\(k(a + b) = ka = kb\).

- Свойство степени:

\((ab)^n = a^nb^n\).

После преобразований в пункте а) получили неполное квадратное уравнение, которое решается разложением на множители, учитывая то, что произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. При этом получается линейное уравнение вида \(ax = b\), которое при \(a\neq0\) имеет единственный корень \(x = \frac{a}{b}\).

В пункте д) получилось верное тождество, поэтому корнем уравнения может быть любое число.

В пунктах б), в), г), е) получились полные квадратные уравнения. Количество корней полного квадратного уравнения

\(ax^2+bx+c=0\) зависит от дискриминанта. Формула дискриминанта:

\(D=b^2-4ac\).

– если \(D>0\), то уравнение имеет два корня:

\(x_1 =\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}\);

\(x_2 =\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}\).

– если \(D=0\), то уравнение имеет один корень:

\(x =-\frac{b}{2a}\).

– если \(D<0\), то уравнение не имеет корней.

а) \(3x^{2}+113x-7=0\)

\(a = 3\),  \(b = 113\),  \(c = -7\)

\(D=b^2 - 4ac=\)

\(=113^{2}-4\cdot3\cdot(-7)=\)

\(=12769+84=12853>0\) - уравнение имеет 2 корня.

\(x_1 + x_2 = -\frac{113}{3} < 0\),

\(x_1\cdot x_2 = -\frac{7}{3} < 0\), значит, корни разных знаков.

б) \(5x^{2}-291x-16=0\)

\(a = 5\),  \(b = -291\),  \(c = -16\)

\(D=b^2 - 4ac=\)

\(=(-291)^{2}-4\cdot5\cdot(-16)=\)

\(=84 681+ 320=85001>0\) - уравнение имеет 2 корня.

\(x_1 + x_2 = \frac{291}{5} > 0\),

\(x_1\cdot x_2 = -\frac{16}{5} < 0\), значит, корни разных знаков.

Пояснения:

Количество корней квадратного уравнения \(ax^2+bx+c=0\) зависит от дискриминанта. Формула дискриминанта:

\(D=b^2-4ac\).

– если \(D>0\), то уравнение имеет два корня;

– если \(D=0\), то уравнение имеет один корень;

– если \(D<0\), то уравнение не имеет корней.

По теореме обратной тереме Виета для квадратного уравнения

\(ax^2 + bx + c=0\), корни которого \(x_1\) и \(x_2\):

\( x_1+x_2=-\frac{b}{a}\)  и  \(x_1x_2=\frac{c}{a}, \)

тогда, если \(x_1x_2<0\), то корни уравнения разных знаков; если \(x_1x_2>0\), то корни уравнения одного знака, который совпадает со знаком суммы \(x_1+x_2\).