Упражнение 567 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

Пусть всего было \(x\) обезьян. Тогда \(\left(\frac{1}{8}x\right)^2\) обезьян резвились в лесу, а \(12\) обезьян кричали на вершине холма.

Составим уравнение:

\(\left(\frac{1}{8}x\right)^2+12=x\)

\(\frac{1}{64}x^2+12=x\)     \(/\times64\)

\(x^2+768=64x\)

\(x^2-64x+768=0\)

\(a=1\), \(b=-64\), \(c=768\).

\(D = b^2 - 4ac =\)

\(=(-64)^2-4\cdot1\cdot768=\)

\(=4096-3072=1024\);     \(\sqrt D=32\).

\(x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{64+32}{2\cdot1}=\)

\(=\frac{96}{2}=48\).

\(x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{64-32}{2\cdot1}=\)

\(=\frac{32}{2}=16\).

Ответ: всего \(48\) обезьян или \(16\) обезьян.

Пояснения:

Ввели обозначения. Учитывая условие, составили уравнение:

\(\left(\frac{x}{8}\right)^2+12=x\).

При возведении в квадрат учитывали свойство степени:

\((ab)^n = a^nb^n\).

Выполнили возведение в квадрат, умножили обе части уравнения на \(64\), перенесли слагаемое из правой части уравнения в левую со сменой знака, получили полное квадратное уравнение:

\(x^2-64x+768=0\).

Через дискриминант решили полученное уравнение и нашли два корня. Оба корня удовлетворяют условию задачи.

Пусть гипотенуза треугольника равна \(x\) см, тогда катеты \(x-3\) см  и \(x-6\) см.

По теореме Пифагора составим уравнение:

\((x-3)^2+(x-6)^2=x^2\)

\(x^2-6x+9+x^2-12x+36-x^2=0\)

\(x^2-18x+45=0\)

\(a=1\), \(b=-18\), \(c=45\).

\(D = b^2 - 4ac = 18^2-4\cdot1\cdot45=\)

\(=324-180=144\);     \(\sqrt D=12\).

\(x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-18)+12}{2}=\)

\(=\frac{30}{2}=15\).

\(x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-18) -12}{2}=\)

\(=\frac{6}{2}=3\) - не удовлетворяет условию \(x > 6\).

Ответ: гипотенуза равна 15 см.

Пояснения:

Использована теорема Пифагора:

\(\,a^2+b^2=c^2\),

где \(a\) и \(b\) - катеты прямоугольного треугольника, \(c\) - гипотенуза.

При обозначении гипотенузы \(x\) катеты равны \(x-3\) и \(x-6\), что даёт уравнение:

\((x-3)^2+(x-6)^2=x^2\).

При раскрытии скобок использовали формулу квадрата суммы и квадрата разности:

\((a+ b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\);

\((a- b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\).

Раскрыли скобки и перенесли слагаемое из правой части уравнения в левую со сменой знака, получили полное квадратное уравнение:

\(x^2-18x+45=0\).

Через дискриминант решили полученное уравнение и нашли два корня. Из двух корней остаётся \(x=15\), потому что гипотенуза должна быть больше обоих катетов, то есть \(x>6\).