Упражнение 564 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

Пусть ширина листа и сторона квадрата равна \(x\) (см), тогда длина оставшегося прямоугольника \(26-2x\) см. Площадь оставшейся части равна 80 см².

Составим уравнение:

\(x(26-2x)=80\)

\(26x-2x^2-80=0 \)   \(/:(-2)\)

\(x^2-13x+40=0 \)

\(a=1\), \(b=-13\), \(c=40\).

\(D = b^2 - 4ac =\)

\(=(-13)^2 -4\cdot1\cdot40=\)

\(=169 - 160 = 9\);   \(\sqrt{D} = 3\).

\(x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} =\frac{-(-13)+3}{2\cdot1}=\)

\(=\frac{16}{2} = 8\).

\(x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} =\frac{-(-13)-3}{2\cdot1}=\)

\(=\frac{10}{2} = 5\).

1 решение:

8 (см) - ширина листа картона.

26 (см) - длина листа картона.

2 решение:

5 (см) - ширина листа картона.

26 (см) - длина листа картона.

Ответ: ширина листа картона 8 см или 5 см.

Пояснения:

Ввели обозначения для ширины картона (стороны квадрата). Длина оставшейся части картона 26 см, а площадь 80 см^2. Учитывая то, что площадь прямоугольника равна произведению длины и ширины, составили уравнение:

\(x(26-2x)=80\).

Раскрыли скобки и перенесли слагаемое из правой части уравнения в левую со сменой знака, разделили обе части уравнения на \(-2\), получили полное квадратное уравнение:

\(x^2-13x+40=0 \).

Через дискриминант решили полученное уравнение и нашли два корня. Каждый из которых удовлетворяет условию задачи, то есть задача имеет два решения.

Отношение длины отрезка на карте (плане) к длине соответствующего отрезка на местности (реальный размер) называют масштабом карты (плана).

Нам нужно сделать чертеж в масштабе 1 : 2, то есть на чертеже размеры должны быть в 2 раза меньше, чем мы получили.

Пусть первое число \(x\), тогда второе числ \(x+1\). Произведение двух последовательных натуральных чисел больше их суммы на \(109\).

Составим уравнение:

\( x(x+1)=x+(x+1)+109\)

\(x^2 + x = 2x + 110\)

\(x^2 + x - 2x - 110=0\)

\(x^2 - x - 110 = 0\)

\(a=1\), \(b=-1\), \(c=-110\)

\(D = b^2 - 4ac =\)

\(=(-1)^2-4\cdot1\cdot(-110)=\)

\(=1+440=441\);   \(\sqrt{D} = 21\).

\(x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-1)+21}{2\cdot1}=\)

\(=\frac{22}{2}=11\).

\(x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-1)-21}{2\cdot1}=\)

\(=\frac{-20}{2}=-10\) - не подходит, так как не является натуральным.

1) 11 - первое натуральное число.

2) 11 + 1 = 12 - второе натуральное число.

Ответ: 11 и 12.

Пояснения:

Два последовательных натуральных числа обозначаем \(x\) и \(x+1\). Учитывая то, что произведение этих двух последовательных натуральных чисел больше их суммы на 109, оставили уравнение:

\( x(x+1)=x+(x+1)+109\).

Раскрыли скобки и перенесли все слагаемые в левую часть уравнения, изменив их знаки на противоположные, привели подобные, получили полное квадратное уравнение:

\(x^2 - x - 110 = 0\).

Нашли корни полученного квадратного уравнения через дискриминант. Отрицательный корень отброшен, так как в условии говорится про натуральные числа. А положительный корень соответствует первому числу.

Прибавлением единицы нашли второе число.