Упражнение 568 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

Пусть всего было \(x\) обезьян. Тогда в гроте спряталось \(\left(\frac{x}{5}-3\right)^2\) обезьян и одна обезьяна была видна.

Составим уравнение:

\( \left(\frac{x}{5}-3\right)^2+1=x \)

\( \left(\frac{x}{5}\right)^2 - 2\cdot\frac{x}{5}\cdot3+3^2+1=x \)

\( \frac{x^2}{25}-\frac{6x}{5}+10=x \)    \(/\times25\)

\(x^2-30x+250=25x\)

\(x^2-30x+250-25x=0\)

\( x^2-55x+250=0 \)

\(a=1\), \(b=-55\), \(c=250\).

\(D = b^2 - 4ac =\)

\(=55^2-4\cdot1\cdot250=\)

\(=3025-1000=2025\);    \(\sqrt D=45\).

\(x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} =\frac{-(-55)+45}{2\cdot1}=\)

\(=\frac{100}{2}=50\).

\(x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} =\frac{-(-55)-45}{2\cdot1}=\)

\(=\frac{10}{2}=5\) - не удовлетворяет условию, так как

\(\frac15\cdot5-3 = 1 - 3 = -2 <0\).

Ответ: было 50 обезьян.

Пояснения:

Ввели обозначения. Учитывая условие, составили уравнение:

\( \left(\frac{x}{5}-3\right)^2+1=x \)

Выполнили возведение в квадрат по формуле квадрата разности двух выражений:

\((a - b)^2 = a^2 - 2ab +b^2\).

Учитывали свойство степени:

\((ab)^n = a^nb^n\).

Затем умножили обе части уравнения на \(25\), перенесли слагаемое из правой части уравнения в левую со сменой знака, привели подобные и получили полное квадратное уравнение:

\( x^2-55x+250=0 \).

Через дискриминант решили полученное уравнение и нашли два корня. При этом согласно условию квадрат пятой части обезьян, уменьшенной на 3, спрятался в гроте, значит, пятая часть обезьян должна быть больше трех, следовательно, корень, равный 5, не удовлетворяет условию задачи:

\(\frac15\cdot5-3 = 1 - 3 = -2 <0\).

Оставшийся корень, удовлетворяет всем условиям задачи, то есть всего было 50 обезьян.

Пусть число рядов равно \(x\), тогда число мест в ряду — \(x+8\). Всего в кинотеатре 884 места.

Составим уравнение:

\(x(x+8)=884\)

\(x^2+8x-884=0\)

\(a=1\), \(b=8\), \(c=-884\).

\(D = b^2 - 4ac =\)

\(=8^2-4\cdot1\cdot(-884)=\)

\(=64+3536=3600\);     \(\sqrt D=60\).

\(x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8+60}{2\cdot1}=\)

\(= \frac{52}{2\cdot1}=26\).

\(x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8-60}{2\cdot1}=\)

\(= \frac{-68}{2\cdot1}=-34\) - не удовлетворяет условию \((x>0)\).

Ответ: \(26\) рядов.

Пояснения:

Ввели обозначения. Учитывая то, что общее количество мест в кинотеатре равно произведению количества рядов на количество мест в ряду, составили уравнение:

\(x(x+8)=884\).

Раскрыли скобки и перенесли слагаемое из правой части уравнения в левую со сменой знака, получили полное квадратное уравнение:

\(x^2+8x-884=0\).

Через дискриминант решили полученное уравнение и нашли два корня. Отрицательный корень не подходит, так как количество рядов может быть только натуральным числом. Положительный корень и есть искомое количество рядов.