Упражнение 129 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(\displaystyle \frac{x^2 - 10x + 25}{3x + 12}\;\cdot\;\frac{x^2 - 16}{2x - 10} =\)

\(=\frac{(x - 5)^2}{3(x + 4)}\;\cdot\;\frac{(x - 4)(x + 4)}{2(x - 5)} =\)

\(=\frac{(x - 5)^{\cancel{2}}\cdot(x - 4)\cancel{(x + 4)}}{3\cancel{(x + 4)}\cdot2\cancel{(x - 5)}} =\)

\(=\frac{(x - 5)(x - 4)}{6}. \)

б) \(\displaystyle \frac{1 - a^2}{4a + 8b}\;\cdot\;\frac{a^2 + 4ab + 4b^2}{3 - 3a} = \)

\(=\frac{(1-a)(1+a)}{4(a + 2b)}\;\cdot\;\frac{(a + 2b)^2}{3(1 - a)} =\)

\(=\frac{\cancel{(1-a)}(1+a)\cdot(a + 2b)^{\cancel{2}}}{4\cancel{(a + 2b)}\cdot3\cancel{(1 - a)}}=\)

\(=\frac{(1+a)(a + 2b)}{12}. \)

в) \(\displaystyle \frac{y^2 - 25}{y^2 + 12y + 36}\;\cdot\;\frac{3y + 18}{2y + 10} =\)

\(=\frac{(y - 5)(y + 5)}{(y + 6)^2}\;\cdot\;\frac{3(y + 6)}{2(y + 5)} = \)

\(=\frac{(y - 5)\cancel{(y + 5)}\cdot3\cancel{(y + 6)}}{(y + 6)^{\cancel{2}}\cdot2\cancel{(y + 5)}}=\)

\(=\frac{3(y - 5)}{2(y + 6)}. \)

г) \(\displaystyle \frac{b^3 + 8}{18b^2 + 27b}\;\cdot\;\frac{2b + 3}{b^2 - 2b + 4} =\)

\(=\frac{(b + 2)(b^2 - 2b + 4)}{9b(2b + 3)}\;\cdot\;\frac{2b + 3}{b^2 - 2b + 4} =\)

\(=\frac{(b + 2)\cancel{(b^2 - 2b + 4)}\cdot\cancel{(2b + 3)}}{9b\cancel{(2b + 3)}\cdot\cancel{(b^2 - 2b + 4)}}=\)

\(=\frac{b + 2}{9b}. \)

Пояснения:

Использованные приёмы:

• Для умножения дробей перемножаем числители и знаменатели отдельно, при этом если возможно, сначала числители и знаменатели умножаемых дробей раскладываем на множители:

- разность квадратов двух выражений:

\(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\);

- вынесение общего множителя за скобки:

\(ka+kb=k(a+b)\);

- квадрат разности двух выражений:

\((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\);

- квадрат суммы двух выражений:

\((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\);

- сумма кубов двух выражений:

\(a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)\).

• Сокращение: одинаковые множители в числителе и знаменателе сокращаются.

\( \frac{a^2 - 4ac + 3bc}{a^2 - ab + bc - ac} + \frac{a + 3b}{b - a} + \frac{a + 2c}{a - c}= \)

\(= \frac{a^2 - 4ac + 3bc}{a(a-b) - c(a-b)} + \frac{a + 3b}{-(a-b)} + \frac{a + 2c}{a - c}= \)

\(= \frac{a^2 - 4ac + 3bc}{(a-b) (a- c)} - \frac{a + 3b}{(a-b)} ^{\color{blue}{\backslash{a-c}}}  + \frac{a + 2c}{a - c} ^{\color{blue}{\backslash{a-b}}}  = \)

\(= \frac{(a^2 - 4ac + 3bc)-(a+3b)(a-c)+(a+2c)(a-b)}{(a-b) (a- c)}=\)

\(= \frac{a^2 - 4ac + 3bc -(a^2-ac+3ab-3bc)+(a^2-ab+2ac-2bc)}{(a-b) (a- c)} =\)

\(= \frac{a^2 - 4ac + 3bc - \cancel{a^2}+ac-3ab+3bc+\cancel{a^2}-ab+2ac-2bc}{(a-b) (a- c)} =\)

\(= \frac{a^2 - ac - 4ab + 4bc}{(a-b) (a- c)} =\)

\(= \frac{a(a - c) - 4b(a - c)}{(a-b) (a- c)} =\)

\(= \frac{\cancel{(a - c)}(a - 4b)}{(a-b)\cancel{(a- c)}} =\frac{a - 4b}{a-b}. \)

Пояснения:

1)  Для сложения и вычитания дробей приводим их к общему знаменателю, умножая числитель и знаменатель каждой дроби на необходимые множители. При приведении дробей к общему знаменателю, раскладываем на множители способом группировки знаменатель первой дроби. Для знаменателя второй применили следующие правила:

\(a-b = -(b-a)\);

\( \frac{A}{B} = -\frac{A}{-B}.\)

2) После приведения к общему знаменателю выполняем вычитание и сложение числителей, раскрывая скобки и приводя подобные члены. При раскрытии скобок применили правило умножения многочлена на многочлен:

\((a+b)(c+d) = ac+ad+bc+bd\).

3) Затем числитель полученной дроби разложили на множители способом группировки и сократили дробь на общий множитель числителя и знаменателя.