Упражнение 1162 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 259

1) \( y = 4x - 5 \) и \(y=\sqrt{x}\)

\(\sqrt{x} = 4x - 5\)

\(\begin{cases} x \ge0,\\ 4x - 5 \ge 0\end{cases} \)

\(\begin{cases} x \ge0,\\ 4x \ge 5\end{cases} \)

\(\begin{cases} x \ge0,\\ x \ge \frac{5}{4}\end{cases} \)

\(\begin{cases} x \ge0,\\ x \ge 1,25,\end{cases} \Rightarrow  x\ge1,25\)

\((\sqrt{x})^2 = (4x - 5)^2\)

\( x = 16x^2 - 40x + 25 \)

\( 16x^2 - 40x + 25 - x = 0 \)

\( 16x^2 - 41x + 25 = 0 \)

\(a = 16\),  \(b = -41\),  \(c = 25\)

\( D = b^2 - 4ac= \)

\(=(-41)^2 - 4\cdot16\cdot25 =\)

\(=1681 - 1600 = 81,\)  \(\sqrt D = 9\).

\(x_{1,2} = \frac{-b\pm\sqrt D}{2a}\)

\(x_1 = \frac{41 + 9}{32} = \frac{50}{32} =\frac{25}{16} =1,5625 \)

\( x_2 = \frac{41 - 9}{32} = \frac{32}{32}= 1 < 1,25\) - не подходит.

Ответ: графики \( y = 4x - 5 \) и

\(y=\sqrt{x}\) имеют одну общую точку.

2) \( y = 0{,}5x - 2 \) и \(y=\sqrt{x}\)

\(\sqrt{x} = 0{,}5x - 2\)

\(\begin{cases} x \ge0,\\ 0{,}5x - 2 \ge0\end{cases} \)

\(\begin{cases} x \ge0,\\ 0{,}5x \ge 2\end{cases} \)

\(\begin{cases} x \ge0,\\ x\ge \frac{2}{0,5}\end{cases} \)

\(\begin{cases} x \ge0,\\ x\ge \frac{20}{5}\end{cases} \)

\(\begin{cases} x \ge0,\\ x\ge 4,\end{cases}  \Rightarrow  x\ge4 \)

\((\sqrt{x})^2 = (0{,}5x - 2)^2\)

\(x = 0,25x^2 - 2x +4\)

\( 0,25x^2 - 2x +4 - x = 0\)

\( 0,25x^2 - 3x +4 = 0\)   \(/\times4\)

\(x^2 - 12x + 16 = 0\)

\(a = 1\),  \(b = -12\),  \(c = 16\)

\( D = b^2 - 4ac =\)

\(=(-12)^2 - 4\cdot1\cdot16 =\)

\(=144 - 64 = 80\), 

\(\sqrt D = \sqrt{80} = \sqrt {16\cdot5} = 4\sqrt5\)

\(x_{1,2} = \frac{-b\pm\sqrt D}{2a}\)

\(x_{1} = \frac{12 + 4\sqrt{5}}{2} = \frac{\cancel2(6 + 2\sqrt{5})}{\cancel2} =  \)

\(=6 + 2\sqrt5\).

\(x_{2} = \frac{12 - 4\sqrt{5}}{2} = \frac{\cancel2(6 - 2\sqrt{5})}{\cancel2} =  \)

\(=6 - 2\sqrt5 < 4\) - не подходит.

Ответ: графики \( y = 0{,}5x - 2 \) и

\(y=\sqrt{x}\) имеют одну общую точку.

3) \( y =-1 \) и \(y=\sqrt{x} > 0\)

Ответ: общих точек нет.

4) \( y =-x + 3 \) и \(y=\sqrt{x}\)

\(\sqrt{x} = -x + 3\)

\(\begin{cases} x \ge0,\\ -x+3\ge0\end{cases} \)

\(\begin{cases} x \ge0,\\ x\le3,\end{cases} \Rightarrow  0\le x \le3\)

\((\sqrt{x})^2 = (3-x)^2\)

\( x =9 - 6x + x^2 \)

\( 9 - 6x + x^2  - x = 0\)

\(x^2 - 7x + 9 = 0\)

\(a = 1\),  \(b = -7\),  \(c = 9\)

\( D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4\cdot1\cdot9 =\)

\(=49 - 36 = 13\),   \(\sqrt D = \sqrt {13}\)

\(x_{1,2} = \frac{-b\pm\sqrt D}{2a}\)

\( x_{1} = \frac{7 + \sqrt{13}}{2} > 3\) - не подходит.

\( x_{2} = \frac{7 - \sqrt{13}}{2}\)

Ответ: графики \( y = -x + 3\) и

\(y=\sqrt{x}\) имеют одну общую точку.

Пояснения:

Чтобы определить без построения имеют ли графики функций общие точки, нужно решить уравнение, приравняв правые части этих функций. Если полученное уравнение имеет корни, удовлетворяющие ОДЗ (области допустимых значений переменной), то графики функций имеют общие точки. При решении уравнений возводим обе части уравнения в квадрат, учитывая то, что подкоренное выражение может принимать только неотрицательные значения и сам корень может быть только неотрицательным числом, то есть при определении ОДЗ составляем систему из двух неравенств.

При решении уравнений помним:

- свойства корня:

\((\sqrt x)^2 = x\);

\(\sqrt {ab} = \sqrt{a}\cdot\sqrt{b}\);

- квадрат разности двух выражений:

\((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\).

- уравнение вида \(ax^2 + bx + c = 0\) называется полным квадратным уравнением, решается с помощью дискриминанта \(D = b^2 - 4ac\), учитывая то, что при \(D > 0\) уравнение имеет два корня: \(x_{1,2} = \frac{-b\pm\sqrt D}{2a}\).