Упражнение 1163 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 259

\( y=\frac{4x+3}{4x^{2}+3x}=\frac{4x+3}{x(4x+3)}=\frac{1}{x}\)

ОДЗ: \(x\ne0\)  и  \(4x+3 \ne 0\)

                          \(4x \ne -3\)

                          \(x\ne-\frac34\)

\(y=\dfrac1x\) - гипербола.

Если \(x = -\frac34\), то \(y =\frac{1}{-\frac34}= -\frac43\).

\(\Bigl(-\dfrac34,-\dfrac43\Bigr)\) - выколотая точка.

Прямая \(y = kx\) имеет с графиком функции \( y=\frac{4x+3}{4x^{2}+3x}\) одну общую точку, если она проходит через точку \(\Bigl(-\dfrac34,-\dfrac43\Bigr)\), тогда

\(-\dfrac43 = k \cdot \Bigl(-\dfrac34\Bigr)\)

\(k = -\dfrac43 : \Bigl(-\dfrac34\Bigr)\)

\(k = \dfrac43 \cdot \dfrac43\)

\(k = \dfrac{16}{9}\)

\(k = 1\dfrac{7}{9}\)

Ответ: прямая \(y = kx\) имеет с графиком функции \( y=\frac{4x+3}{4x^{2}+3x}\) одну общую точку при \(k = 1\dfrac{7}{9}\).

Пояснения:

Чтобы построить график заданной функции сначала, нужно выполнить преобразования (сократить дробь), учитывая ОДЗ (область допустимых значений).

В результате преобразований получили функцию \(y=\dfrac1x\) - график гипербола, ветви которой расположены в 1 и 3 координатной четвертях, так как \(k = 1 > 0\). Построили график по точкам, причем точку, у которой \(x\ne-\frac34\) сделали выколотой, так как функция в этой точке не существует.

Графиком функции \(y = kx\) является прямая, проходящая через начало координат.

При \(k <0\) прямая \(y = kx\) будет проходит через 2 и 4 координатные четверти и в этом случае общих точек с графиком функции \( y=\frac{4x+3}{4x^{2}+3x}\).

При \(k > 0\) прямая \(y = kx\) будет проходит через 1 и 3 координатные четверти и в этом случае будет иметь две общие точки с графиком функции \( y=\frac{4x+3}{4x^{2}+3x}\), кроме того случая, когда прямая \(y=kx\) проходит через точку \(\Bigl(-\dfrac34,-\dfrac43\Bigr)\) - в этом случае общая точка будет одна при \(k = 1\dfrac{7}{9}\) (смотри решение выше).