Упражнение 1059 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

\(x^2 - 4ax + 4a^2 - 25 = 0\)

\(A = 1\),  \(B = -4a\),  \(C = 4a^2 - 25\)

\( D = B^2 - 4AC=\)

\(=(-4a)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (4a^2 - 25) =\)

\(=\cancel{16a^2} - \cancel{16a^2} + 100 = \)

\(=100 > 0 \) - уравнение имеет 2 корня при любом \(a\).

\(\sqrt D = \sqrt{100} = 10\)

\(x_{1,2} = \frac{-B \pm \sqrt{D}}{2A} = \frac{4a \pm 10}{2} =\)

\(=\frac{\cancel2(2a \pm 5)}{\cancel2} =2a \pm 5. \)

Составим систему неравенств:

\( \begin{cases} 2a - 5 > 2,\\ 2a + 5 > 2 \end{cases} \)

\( \begin{cases} 2a > 2 + 5,\\ 2a > 2 - 5 \end{cases} \)

\( \begin{cases} 2a > 7,  / : 2\\ 2a > -3  / : 2 \end{cases} \)

\( \begin{cases} a > \frac72, \\ a > -\frac32 \end{cases} \)

\( \begin{cases} a > 3,5, \\ a > -1,5 \end{cases} \)

Ответ: при \(a \in (3,5; +\infty)\).

Пояснения:

При решении учитываем то, что квадратное уравнение

\(Ax^2 + Bx + C=0\) имеет два корня в том случае, когда дискриминант

\(D = B^2-4AC > 0\), и тогда корни уравнения:

\(x_{1,2} =\frac{-B \pm \sqrt D}{2A}\).

По условию корни уравнения должны быть больше 2. Поэтому, найдя корни уравнения \(x_1\) и \(x_2\), мы рассматриваем систему из двух неравенств относительно переменной \(b\).

Чтобы решить систему неравенств, нужно найти пересечение решений неравенств системы, то есть найти множество чисел, которое является одновременно решением и одного неравенства и решением другого неравенства. Если решения неравенств не пересекаются, то система решений не имеет.

При решении неравенств системы используем то, что:

- если из одной части неравенства перенести в другую слагаемое с противоположным знаком, то получится равносильное ему неравенство;

- если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число, то получится равносильное ему неравенство.

Если знак неравенства строгий (\(>\)  или \(<\)), то точку на координатной прямой делаем "выколотой" (незакрашенной), при записи промежутка используем круглую скобку.

Если знак неравенства нестрогий (\(\geq\)  или \(\leq\)), то точку на координатной прямой делаем закрашенной, а при записи промежутка используем квадратную скобку.

У \(-\infty\) и \(+\infty\) при записи промежутка скобка всегда круглая.

\( \begin{cases} \dfrac{x+1}{10}-\dfrac{x}{6}\le\dfrac{x}{10}+\dfrac{1-x}{30},  /\times 30\\[8pt] \dfrac{x}{3}-\dfrac{x+5}{12}<\dfrac{x}{4}-\dfrac{x-5}{24}  /\times 24 \end{cases} \)

\( \begin{cases} 3(x+1)-5x\le3x+(1-x), \\[6pt] 8x-2(x+5)<6x-(x-5) \end{cases} \)

\( \begin{cases} 3x+3-5x\le3x+1-x, \\[6pt] 8x-2x-10<6x-x+5 \end{cases} \)

\( \begin{cases} -2x+3\le2x+1, \\[6pt] 6x-10<5x+5 \end{cases} \)

\( \begin{cases} -2x - 2x \le 1 - 3, \\[6pt] 6x-5x<5+10 \end{cases} \)

\( \begin{cases} -4x\le-2,   / : (-4) \\[6pt] x< 15 \end{cases} \)

\( \begin{cases} x\ge\frac24, \\[6pt] x< 15 \end{cases} \)

\( \begin{cases} x\ge0,5, \\[6pt] x< 15 \end{cases} \)

Ответ: \(x\in [0,5; 15)\).

Пояснения:

Сначала в каждом неравенстве избавляемся от знаменателей, домножив неравенство на общий знаменатель дробей, входящих в неравенство, учитывая то, что если обе части неравенства умножить на одно и то же положительное число, то получится равносильное ему неравенство. Затем, используя распределительное свойство умножения, раскрываем скобки и приводим подобные слагаемые.

Затем при решении неравенств используем то, что:

- если из одной части неравенства перенести в другую слагаемое с противоположным знаком, то получится равносильное ему неравенство;

- если обе части неравенства разделить на одно и то же положительное число, то получится равносильное ему неравенство;

- если обе части неравенства разделить на одно и то же отрицательное число, изменив при этом знак неравенства на противоположный, то получится равносильное ему неравенство.

Если знак неравенства строгий (\(>\)  или \(<\)), то точку на координатной прямой делаем "выколотой" (незакрашенной), при записи промежутка используем круглую скобку.

Если знак неравенства нестрогий (\(\geq\)  или \(\leq\)), то точку на координатной прямой делаем закрашенной, а при записи промежутка используем квадратную скобку.