Вернуться к содержанию учебника
Контрольные вопросы и задания
1) Приведите пример целого уравнения и пример дробного рационального уравнения.
2) На примере уравнения \(\displaystyle \frac{6}{x^{2}-1}-1=\frac{2}{x-1}-\frac{3}{x+1}\) объясните, как решают дробные рациональные уравнения.
Вспомните:
1) Примеры:
— целые уравнения:
\(\;2x+5=17\);
\(\;x^{2}-5x+6=0\));
\(\frac{3x+5}{2}+\frac{2x-5}{4} = 0\).
— дробные рациональные уравнения:
\(\;\dfrac{x+1}{x-2}=3\);
\(\;\dfrac{1}{x-1}+\dfrac{2}{x+3}=0\).
2) \(\frac{6}{x^{2}-1}-1=\frac{2}{x-1}-\frac{3}{x+1}\)
\(\frac{6}{(x-1)(x+1)}-1=\frac{2}{x-1}-\frac{3}{x+1}\) \(/\times (x-1)(x+1)\)
ОДЗ: \(x-1\neq0\) и \(x+1\neq0\)
\(x\neq1\) \(x\neq-1\)
\(6-(x-1)(x+1)=2(x+1)-3(x-1)\)
\(6-(x^2 - 1^2) = 2x+2-3x+3\)
\(6-x^2+ 1 = 5-x\)
\(-x^2 +7 - 5 + x = 0\)
\(-x^2 + x + 2 = 0\) \(/ \times(-1)\)
\(x^2 - x - 2 = 0\)
\(a = 1\), \(b = -1\), \(c = -2\)
\(D = b^2 - 4ac =\)
\(=(-1)^2 -4\cdot1\cdot(-2) = \)
\(=1 + 8 = 9\), \(\sqrt D = 3\).
\( x_{1,2} = \frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}\).
\( x_1 = \frac{-(-1)+3}{2\cdot1}=\frac{4}{2}=2\).
\( x_2 = \frac{-(-1)-3}{2\cdot1}=\frac{-2}{2}=-1\) - не подходит по ОДЗ.
Ответ: \(2\).
Пояснения:
Алгоритм решения дробного рационального уравнений:
1) найти ОДЗ (область допустимых значений), то есть те значения переменной, при которых знаменатель обращается в нуль;
2) найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение;
3) умножить обе части уравнения на общий знаменатель;
4) решить получившееся целое уравнение;
5) исключить из его корней те, которые совпадают с ОДЗ.
В нашем примере общий знаменатель \((x-1)(x+1)\) сократился, уравнение свелось к \(\;x^{2}-x-2=0\). Из двух корней \(\;x=2\) и \(\;x=-1\) допустим только \(\;x=2\), так как \(-1\) запрещён ОДЗ.
Вернуться к содержанию учебника