стр. 145. Контрольные вопросы и задания - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

1) Квадратным трехчленом называют многочлен вида \(ax^{2}+bx+c\) где \(x\) - переменная, \(a\), \(b\) и \(c\) - некоторые числа, причем \(a\neq0\).

 Число корней определяют по дискриминанту \(D=b^{2}-4ac\):

если \(D>0\), то квадратный трехчлен имеет два корня;

если \(D=0\), то квадратный трехчлен имеет один корень;

если \(D<0\), то квадратный трехчлен не имеет корней.

2) \( 3x^{2}-12x+32=\)

\(=3\bigl(x^{2}-4x + \frac{32}{3}\bigr) =\)

\(=3\bigl((x^{2}-2\cdot 2x + 2^2) - 2^2 + \frac{32}{3}\bigr) =\)

\(=3\bigl((x-2)^{2}-4+ \frac{32}{3}\bigr) =\)

\(=3(x-2)^{2}-12+32 =\)

\(=3(x-2)^{2}+20. \)

3) Теорема:

если \(x_{1}\) и \(x_{2}\) - корни квадратного трёхчлена \(ax^{2}+bx+c\), то

\( ax^{2}+bx+c=a(x-x_{1})(x-x_{2}). \)

Доказательство:

Вынесем за скобки в многочлене \(ax^{2}+bx+c\) множитель \(a\). Получим:

\(ax^{2}+bx+c = a(x^{2}+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a})\).

Так как корни квадратного трехчлена \(ax^{2}+bx+c\) являются корнями квадратного уравнения

\(ax^{2}+bx+c=0\), то по теореме Виета:

\(x_1 + x_2 = -\frac{b}{a},   x_1\cdot x_2 =\frac{c}{a}.\)

Отсюда

\(\frac{b}{a} = -(x_1 + x_2,)   \frac{c}{a}= x_1\cdot x_2.\)

Поэтому

\(x^{2}+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a} =\)

\(=x^2 - (x_1+x_2)x+x_1x_2 =\)

\(=x^2 -x_1x-x_2x+x_1x_2 =\)

\(=x(x-x_1)-x_2(x-x_1)=\)

\(=(x-x_1)(x-x_2)\).

Итак,

\(ax^{2}+bx+c =a(x-x_1)(x-x_2)\).

Теорема доказана.