Вернуться к содержанию учебника
Контрольные вопросы и задания
1. Сформулируйте теоремы, выражающие основные свойства числовых неравенств, и докажите их.
2. Сформулируйте и докажите теоремы о почленном сложении и умножении неравенств.
3. Оцените сумму, разность, произведение и частное чисел \(a\) и \(b\), если известно, что \(4 < a < 5\) и \(9 < b < 10.\)
4. Что называется абсолютной погрешностью приближенного значения? Объясните смысл записи \(x = a \pm h\).
5. Что называется относительной погрешностью приближенного значения?
Вспомните:
1. Основные свойства числовых неравенств:
• Если \(a > b\), то \(b < a\)
Доказательство:
1) \(a > b\), значит, разность \(a - b\) - положительное число, тогда разность \(b - a\) - отрицательное число и \(b < a\).
2) \(a < b\), значит, разность \(a - b\) - отрицательное число, тогда разность \(b - a\) - положительное число и \(b > a\).
• Если \(a < b\) и \(b < c\), то \(a < c\).
Доказательство:
Докажем, что разность \(a - c\) - отрицательное число. Прибавим к этой разности числа \(b\) и \(-b\) и группируем слагаемые:
\(a - c = a - c + b - b =\)
\(=(a-b)+(b-c)\).
По условию \(a < b\) и \(b < c\). Поэтому слагаемые \(a - b\) и \(b - c\) - отрицательные числа. Значит, и их сумма является отрицательным числом. Следовательно, \(a < c\).
• Если \(a < b\) и \(c\) - любое число, то
\(a + c > b + c\).
Доказательство:
\((a + c) - (b + c) = a + c - b -c =\)
\(=a - b\).
По условию \(a < b\), поэтому \(a - b\) - отрицательное число. Значит, и разность \((a + b) - (b + c)\) отрицательна. Следовательно,
\(a + c < b + c\).
• Если \(a < b\) и \(c\) - положительное число, то \(ac < bc\). Если \(a < b\) и \(c\) - отрицательное число, то \(ac > bc\).
Доказательство:
\(ac - bc = c(a - b)\)
Так как \(a < b\), то \(a - b\) - отрицательное число. Если \(c > 0\), то произведение \(c(a - b)\) - отрицательно, и тогда \(ac < bc\). Если \(c < 0\), то произведение \(c(a - b)\) - положительно, и тогда \(ac > bc\).
2. Теоремы о почленном сложении и умножении неравенств:
• Если \(a < b\) и \(c < d\), то
\(a + c < b + d\).
Доказательство:
Прибавим к обеим частям неравенства \(a < b\) число \(c\), получим:
\(a + c < b + c\).
Прибавим к обеим частям неравенства \(c < d\) число \(b\), получим:
\(b + c < b + d \).
Из неравенств
\(a + c < b + c\) и \(b + c < b + d \),
согласно свойству числовых неравенств получаем:
\(a + c < b + d\) .
• Если \(a < b \) и \(c < d\), где \(a, b, c, d\) - положительные числа, то \(ac < bd\).
Доказательство:
Умножим обе части неравенства \(a < b \) на положительное число \(c\), получим
\(ac < bc \).
Умножим обе части неравенства \(c < d\) на положительное число \(b\), получим \(bc < bd\).
Из неравенств \(ac < bc \) и \(bc < bd\) согласно свойству числовых неравенств получаем:
\(ac < bd\).
3. Оценим выражения:
\(4 < a < 5\),
\(9 < b < 10\).
Сумма:
\[ 4 + 9 < a + b < 5 + 10, \]
\[ 13 < a+b < 15. \]
Разность:
\(a - b = a + (-b)\)
\(-10 < -b < -9\).
\( 4 + (-10) < a + (-b) < 5 + (-9) \)
\( -6 < a-b < -4. \)
Произведение:
\[ 4 \cdot 9 < ab < 5 \cdot 10, \]
\[ 36 < ab < 50. \]
Частное:
\(\frac{a}{b} = a\cdot \frac1b\)
\(\frac{1}{10} < \frac1b < \frac19\)
\(4\cdot\frac{1}{10} < a\cdot\frac1b < 5\cdot\frac19\)
\[ \frac{4}{10} < \frac{a}{b} < \frac59 \]
\[ \frac{2}{5} < \frac{a}{b} < \frac59 \]
4. Абсолютной погрешностью приближенного значения называют модуль разности точного и приближенного значений.
Запись \(x = a \pm h\) говорит о том, что число \(a\) является приближенным значением \(x\) с точностью до \(h\), то есть точное значение переменной \(x\) заключено между числами \(a - h\) и \(a + h\):
\(a - h \le x \le a + h\).
5. Относительной погрешностью приближенного значения называется отношение абсолютной погрешности к модулю приближенного значения.
Вернуться к содержанию учебника