Упражнение 1179 - ГДЗ Алгебра 7 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \( \begin{cases} 2x + 5y = 17,\\ 4x - 10y = 45 \end{cases} \)

\( \begin{cases} 5y = -2x + 17,   /\ : 5 \\ 10y = 4x - 45     / : 10  \end{cases} \)

\( \begin{cases} y = -\frac{2}{5}x + \frac{17}{5}, \\ y = \frac{4}{10}x - \frac{45}{10}  \end{cases} \)

\( \begin{cases} y = -0,4x + 3,4, \\ y = 0,4x - 4,5  \end{cases} \)

 \(k_1 = -0,4\), \(k_2 = 0,4\) - прямые пересекаются, значит, система уравнений имеет одно решение.

Ответ: система имеет одно решение.

б) \( \begin{cases} \frac{x}{5} - \frac{y}{15} = 1,   /\times15 \\ 6x - 2y = 35 \end{cases} \)

\( \begin{cases} 3x - y = 15, \\ 2y = 6x - 35  / : 2 \end{cases} \)

\( \begin{cases}  y = 3x - 15, \\ y = \frac{6}{2}x - \frac{35}{2} \end{cases} \)

\( \begin{cases}  y = 3x - 15, \\ y = 3x - 17,5 \end{cases} \)

\(k_1 = k_2 = 3\), но \(b_1 = -15\),

\(b_2 = -17{,}5\), \(b_1 \neq b_2\) - прямые параллельны, значит, система решений не имеет.

Ответ: система не имеет решений.

в) \( \begin{cases} 0{,}2x - 5y = 11,\\ -x + 25y = -55; \end{cases} \)

\( \begin{cases} 5y = 0{,}2x - 11,   / :5 \\ 25y = x - 55    / : 25 \end{cases} \)

\( \begin{cases} y = \frac{0{,}2}{5}x - \frac{11}{5},\\ y = \frac{1}{25}x - \frac{55}{25}; \end{cases} \)

\( \begin{cases} y = 0,04x - 2,2,\\ y = 0,04x - 2,2; \end{cases} \)

 \(k_1 = k_2 = 0{,}04\), \(b_1 = b_2 = -2{,}2\), прямые совпадают, значит, система уравнений имеет бесконечно много решений.

Ответ: система имеет бесконечно много решений.

г) \( \begin{cases} 3x + \tfrac{1}{3}y = 10,    /\times3\\ 9x - 2y = 1 \end{cases} \)

\( \begin{cases} 9x + y = 30, \\ 2y = 9x - 1    / : 2 \end{cases} \)

\( \begin{cases} y = -9x + 30, \\ y = \frac{9}{2}x - \frac{1}{2} \end{cases} \)

\( \begin{cases} y = -9x + 30, \\ y = 4,5x - 0,5 \end{cases} \)

\(k_1 = -9\), \(k_2 = 4{,}5\) - прямые пересекаются, значит, система уравнений имеет одно решение.

Ответ: система имеет одно решение.

Пояснения:

– Чтобы сравнить расположение прямых, приводят уравнения к виду \(y = kx + b\).

– Если \(k_1 \neq k_2\), прямые пересекаются в одной точке.

– Если \(k_1 = k_2\) и \(b_1 \neq b_2\), прямые параллельны (нет решений).

– Если \(k_1 = k_2\) и \(b_1 = b_2\), прямые совпадают (бесконечно много решений).

Обозначим через \(x\) га и \(y\) га площади первого и второго поля соответственно. Известно, что в первый день засеяли 340 га и во второй день засеяли \(\frac13\) оставшейся части первого поля, что на 60 га меньше половины оставшейся части второго поля.

Составим систему уравнений:

\( \begin{cases} \tfrac14x + \tfrac13y = 340,    /\times(-1) \\ \tfrac14x = \tfrac13y - 60 \end{cases} \)

\( \begin{cases} -\tfrac14x - \tfrac13y = -340, \\ \tfrac14x - \tfrac13y = -60 \end{cases} \)

\( \begin{cases} -\tfrac23y = -400,      /\times(-3) \\ \tfrac14x - \tfrac13y = -60   /\times12 \end{cases} \)

\( \begin{cases} 2y = 1200, \\ 3x - 4y = -720 \end{cases} \)

\( \begin{cases} y = \frac{1200}{2}, \\ 3x = 4y - 720 \end{cases} \)

\( \begin{cases} y =600, \\ 3x = 4\cdot600 - 720 \end{cases} \)

\( \begin{cases} y =600, \\ 3x = 2400 - 720 \end{cases} \)

\( \begin{cases} y =600, \\ 3x = 1680 \end{cases} \)

\( \begin{cases} y =600, \\ x = \frac{1680}{3} \end{cases} \)

\( \begin{cases} y =600, \\ x = 560 \end{cases} \)

Ответ: первое поле — 560 га, второе поле — 600 га.

Пояснения:

– Пусть \(x\) и \(y\) — искомые площади полей.

– Первая часть задачи даёт линейное уравнение с дробными коэффициентами, отражающее засеянные доли полей.

– Во второй части использовали понятие «остаток»: после первого дня остаётся \(\tfrac34x\) и \(\tfrac23y\).

– Превращение «\(\tfrac13\) оставшегося» и «половины оставшегося» в дробные выражения дало второе уравнение.

– Решили систему методом сложения: складываем почленно уравнения системы так, чтобы в новом уравнении исчезла одна из переменных. Там, где необходимо, одно из уравнений или оба уравнения делим или умножаем на числа так, чтобы перед одной из переменных получить противоположные коэффициенты, которые при сложении приведут к сокращению выражений с этой переменной.

– После сложения уравнений системы получается линейное уравнение с одной переменной, решение которого дает значение этой переменной.

– Уравнение вида \(ax = b\) называется линейным и при \(a \neq 0\) имеет единственный корень \(x=\frac{b}{a}\).

– Подстановка: после нахождения одной переменной подставляем её значение в одно из исходных уравнений для вычисления значения второй переменной.