Упражнение 1175 - ГДЗ Алгебра 7 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 230

\( \begin{cases} 5x - 2y = 3,\\ x + y = a \end{cases} \)

На оси \(y\): \(x = 0\)

\( \begin{cases} 5\cdot0 - 2y = 3,\\ 0 + y = a \end{cases} \)

\( \begin{cases} -2y = 3,\\ y = a \end{cases} \)

\( \begin{cases} y = -\frac{3}{2},\\ y = a \end{cases} \)

\( \begin{cases} y = -1,5,\\ a = -1,5 \end{cases} \)

Ответ: при \(a = -1,5 \).

Пояснения:

– Точка на оси \(y\) имеет абсциссу \(x=0\).

– Для нахождения точки пересечения прямых на оси \(y\) составили систему из уравнений этих прямых и подставили в них \(x=0\).

– В итоге получили единственное значение \(a = -1,5\), при котором пересечение происходит на оси \(y\).

а) \(A(1;2)\) и \(B(-2;3)\)

\(y = kx + b\)

\( \begin{cases} 2 = k\cdot1 + b,\\ 3 = k\cdot(-2) + b \end{cases} \)

\( \begin{cases} 2 = k + b,  /\times(-1) \\ 3 = -2k + b \end{cases} \)

\( \begin{cases} -2 = -k - b, \\ 3 = -2k + b \end{cases} \)       \((+)\)

\( \begin{cases} 1 = -3k, \\ 3 = -2k + b \end{cases} \)

\( \begin{cases} k = -\frac13, \\ b = 3 + 2k \end{cases} \)

\( \begin{cases} k = -\frac13, \\ b = 3 + 2\cdot(-\frac13) \end{cases} \)

\( \begin{cases} k = -\frac13, \\ b = 3 - \frac23 \end{cases} \)

\( \begin{cases} k = -\frac13, \\ b = 2\frac13 \end{cases} \)

\(y = -\frac13x + 2\frac13\)

Ответ: \(y = -\frac13x + 2\frac13.\)

б) \(M(-5;0)\) и \(K(2;-1)\)

\(y = kx + b\)

\( \begin{cases} 0 = k\cdot(-5) + b,\\ -1 = k\cdot2 + b \end{cases} \)

\( \begin{cases} 0 = -5k + b,   /\times(-1) \\ -1 = 2k + b \end{cases} \)

\( \begin{cases} 0 = 5k - b, \\ -1 = 2k + b \end{cases} \)       \((+)\)

\( \begin{cases} -1 = 7k, \\ -1 = 2k + b \end{cases} \)

\( \begin{cases} k = -\frac17, \\ b = -1 - 2k \end{cases} \)

\( \begin{cases} k = -\frac17, \\ b = -1 - 2\cdot(-\frac17) \end{cases} \)

\( \begin{cases} k = -\frac17, \\ b = -1 + \frac27 \end{cases} \)

\( \begin{cases} k = -\frac17, \\ b = -\frac57 \end{cases} \)

\(y = -\frac17x - \frac57\)

Ответ: \(y = -\frac17x - \frac57\).

Пояснения:

1) Линейная функция \(y=kx+b\) задаётся двумя параметрами \(k\) и \(b\).

2) Решение системы методом сложения: складываем почленно уравнения системы так, чтобы в новом уравнении исчезла одна из переменных. Там, где необходимо, одно из уравнений или оба уравнения делим или умножаем на числа так, чтобы перед одной из переменных получить противоположные коэффициенты, которые при сложении приведут к сокращению выражений с этой переменной.

3) После сложения уравнений системы получается линейное уравнение с одной переменной, решение которого дает значение этой переменной.

4) Уравнение вида \(ax = b\) называется линейным и при \(a \neq 0\) имеет единственный корень \(x=\frac{b}{a}\).

5) Подстановка: после нахождения одной переменной подставляем её значение в одно из исходных уравнений для вычисления значения второй переменной.

6) Так находятся коэффициенты \(k\) и \(b\) определяется единственная прямая, проходящая через заданные точки.