Упражнение 1112 - ГДЗ Алгебра 7 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 221

а) \( \begin{cases} 2x - y = 1,\\ -6x + 3y = 2; \end{cases} \)

\( \begin{cases} y = 2x - 1,\\ 3y = 6x + 2;      / : 3 \end{cases} \)

\( \begin{cases} y = 2x - 1,\\ y = 2x + \frac23; \end{cases} \)

Угловые коэффициенты одинаковые, а точки пересечения с осью \(y\) различны, значит, прямые параллельны.

Ответ: система не имеет решений, так как прямые параллельны.

б) \( \begin{cases} -5x + 2y = 7,\\ 15x - 6y = -21; \end{cases} \)

\( \begin{cases} 2y = 5x + 7,    / : 2 \\ 6y = 15x + 21;     / : 6 \end{cases} \)

\( \begin{cases} y = \frac{5}{2}x + \frac{7}{2}, \\ y = \frac{15}{6}x + \frac{21}{6};     / : 6 \end{cases} \)

\( \begin{cases} y = 2,5x + 3,5, \\ y = 2,5x + 3,5 \end{cases} \)

Ответ: система имеет бесконечно много решений, так как уравнения совпадают.

Пояснения:

Использованные приёмы:

1. Решением системы уравнений являются координаты точек пересечения графиков.
2. В каждом уравнении выражаем переменную \(y\) через переменную \(x\), используя свойства уравнений.
3. Коэффициенты, полученные в новых уравнениях, отвечают за расположение прямых. При одинаковых коэффициентах при переменной \(x\) и разных свободных коэффициентах прямые будут параллельны, то есть прямые общих точек не имеют, значит система в таком случае не имеет решения. При одинаковых коэффициентах при переменной \(x\) и разных свободных коэффициентах прямые будут совпадать, значит, система в таком случае будет иметь бесконечно много решений.

Пусть \(x\) (км/ч) собственная скорость лодки в стоячей воде, а \(y\) (км/ч) — скорость течения. Тогда скорость по течению \(x+y\) (км/ч), а против течения \(x-y\) (км/ч).

Составим систему уравнений:

\( \begin{cases} 4(x+y)=5(x-y),\\ 3,5(x+y) = 70. \end{cases} \)

\( \begin{cases} 4x+4y=5x-5y,\\ 3,5x+3,5y = 70. \end{cases} \)

\( \begin{cases} 4x - 5x+4y+ 5y=0,\\ 3,5x+3,5y = 70   / : 3,5 \end{cases} \)

\( \begin{cases} -x+9y=0,\\ x+y = 20 \end{cases} \)

\( \begin{cases} 10y=20,\\ x+y = 20 \end{cases} \)

\( \begin{cases} y=\frac{20}{10},\\ x= 20-y \end{cases} \)

\( \begin{cases} y=2,\\ x= 20 - 2 \end{cases} \)

\( \begin{cases} y=2,\\ x= 18 \end{cases} \)

Ответ: скорость лодки в стоячей воде \(x = 18\) км/ч.

Пояснения:

Использованные приёмы:

1) Введение переменных: \(x\) — собственная скорость лодки, \(y\) — скорость течения.

2) Составление системы уравнений. Чтобы найти расстояние, нужно скорость движения умножить на время в пути.

3) Раскрытие скобок, используя распределительное свойство умножения:

\(a(b+c)=ab+ac\).

4) Перенос членов из одной части уравнения в другую:

если \(a+b=c+d\), то \(a-d=c-b\).

5) Приведение подобных членов при преобразовании каждого уравнения:

\(ax + bx = (a + b)x\).

6) Решение системы методом сложения: складываем почленно уравнения системы так, чтобы в новом уравнении исчезла одна из переменных. Там, где необходимо, одно из уравнений или оба уравнения делим или умножаем на числа так, чтобы перед одной из переменных получить противоположные коэффициенты, которые при сложении приведут к сокращению выражений с этой переменной.

7) После сложения уравнений системы получается линейное уравнение с одной переменной, решение которого дает значение этой переменной.

8) Уравнение вида \(ax = b\) называется линейным и при \(a \neq 0\) имеет единственный корень \(x=\frac{b}{a}\).

9) Подстановка: после нахождения одной переменной подставляем её значение в одно из исходных уравнений для вычисления значения второй переменной.