Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№1081 учебника 2023-2025 (стр. 213):
Решите уравнение:
а) \(\dfrac{2x - 3}{4} - 3x = \dfrac{x + 1}{2}\)
б) \(6 = \dfrac{3x - 1}{3} - \dfrac{x}{5}\)
№1081 учебника 2013-2022 (стр. 215):
Докажите, что все точки графика функции, заданной формулой
\[y = x^2 - 4x + 5,\]
расположены в верхней полуплоскости.
№1081 учебника 2023-2025 (стр. 213):
№1081 учебника 2013-2022 (стр. 215):
Вспомните:
№1081 учебника 2023-2025 (стр. 213):
а) \( \frac{2x - 3}{4} - 3x = \frac{x + 1}{2}; \) \(|\times4\)
\( 4 \cdot \left( \frac{2x - 3}{4} - 3x \right) = 4 \cdot \frac{x + 1}{2};\)
\( (2x - 3) - 12x = 2(x + 1); \)
\( 2x - 3 - 12x = 2x + 2;\)
\(-10x - 3 = 2x + 2;\)
\(-10x - 2x = 2+3;\)
\(-12x - 2x = 5;\)
\(-12x = 5;\)
\(x = -\frac{5}{12}. \)
Ответ: \(x = -\frac{5}{12}. \)
б) \( 6 = \frac{3x - 1}{3} - \frac{x}{5}; \) \(|\times15\)
\( 15 \cdot 6 = 15 \cdot \left( \frac{3x - 1}{3} - \frac{x}{5} \right);\)
\(90 = 5(3x - 1) - 3x;\)
\(90 = 15x - 5 - 3x;\)
\(90 = 12x - 5;\)
\(12x = 95;\)
\( x = \frac{95}{12}; \)
\( x =7 \frac{11}{12}. \)
Ответ: \( x =7 \frac{11}{12}. \)
Пояснения:
Метод домножения на общий знаменатель:
Чтобы исключить дроби в уравнении, можно умножить каждую часть уравнения на наименьший общий знаменатель (НОК) всех дробных выражений. Это избавляет от знаменателей и упрощает уравнение.
а) 1) НОК для 4 и 2 — это 4.
2) Домножение убрало знаменатели, уравнение стало линейным.
3) Решение: \( x = -\frac{5}{12} \).
б) 1) НОК для 3 и 5 — это 15.
2) Домножили обе части, избавились от дробей.
3) Решение: \( x =7 \frac{11}{12}. \)
№1081 учебника 2013-2022 (стр. 215):
\( y = x^2 - 4x + 5 = \)
\((x^2 - 4x + 4) + 1 =\)
\(=(x - 2)^2 + 1. \)
Для любого значения \(x\):
\((x - 2)^2 \ge 0\), тогда
\(y = (x - 2)^2 + 1 > 0\)
Значит, при всех \(x\) значения \(y\) положительны, и график лежит в верхней полуплоскости.
Что и требовалось доказать.
Пояснения:
Использованные правила и приёмы:
1. Выделение полного квадрата:
\[(x - a)^2 = x^2 - 2ax + a^2.\]
2. Свойство квадрата:
\((x - 2)^2 \ge 0\) для всех значений \(x\).
3. Определение верхней полуплоскости: множество точек с координатой \(y>0\).
1. Сначала в квадратном трёхчлене \(x^2 - 4x + 5\) представили \(5\) как \(4 + 1\), чтобы получить полный квадрат
\((x - 2)^2\).
2. После выделения полного квадрата осталось \(+1\), поэтому \(y \ge 1\). Это доказывает, что \(y\) никогда не обращается в ноль или отрицательное значение.
3. Таким образом, все точки графика \((x, y)\) имеют \(y>0\), то есть располагаются в верхней полуплоскости.
Вернуться к содержанию учебника