Упражнение 1077 - ГДЗ Алгебра 7 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \( \begin{cases} x - 2y = 6, \\ 3x + 2y = -6; \end{cases}\)

\(x - 2y = 6:\)

\(3x + 2y = -6:\)

Ответ: \( (0; -3) \)

б) \( \begin{cases} x - y = 0, \\ 2x + 3y = -5. \end{cases} \)

\(x - y = 0:\)

\( 2x + 3y = -5:\)

Ответ: \( (-1; -1) \)

Пояснения:

Решение системы графически означает построение двух прямых на координатной плоскости и нахождение их точки пересечения (если она существует).

а) \( \begin{cases} \frac{x}{3} - \frac{y}{2} = -4    /\times 6,\\ \frac{x}{2} + \frac{y}{2} = -2   /\times 2; \end{cases} \)

\( \begin{cases} 2x - 3y = -24,\\ x + y = -4; \end{cases} \)

\( \begin{cases} 2\cdot(-4 - y) - 3y = -24,\\ x = -4 - y; \end{cases} \)

\( 2\cdot(-4 - y) - 3y = -24\)

\(-8 -2y -3y = -24\)

\(-5y = -24+8\)

\(-5y = -16\)

\(y = \tfrac{16}{5}\)

\(y = 3,2\)

\( x = -4 - 3,2 = -7,2. \)

Ответ: \( x = -7,2,\) \(y = 3,2\).

б) \( \begin{cases} \frac{a}{6} - 2b = 6,                      /\times 6 \\ -3a + \frac{b}{2} = -37;   /\times 2 \end{cases} \)

\( \begin{cases} a - 12b = 36, \\ -6a + b = -74;\end{cases} \)

\( \begin{cases} a = 36 + 12b, \\ -6\cdot(36 + 12b) + b = -74;\end{cases} \)

\(-6\cdot(36 + 12b) + b = -74\)

\(-216 -72b + b = -74\)

\(-71b = -74 + 216\)

\(-71b = 142\)

\(b = -\frac{142}{71}\)

\(b = -2\)

\(a = 36 +12\cdot(-2) = 36 - 24 = 12\)

Ответ: \(a = 12\), \(b = -2\).

в) \( \begin{cases} \frac{2m}{5} + \frac{n}{3} = 1,        /\times 15 \\ \frac{m}{10} - \frac{7n}{6} = 4;     /\times 30 \end{cases} \)

\( \begin{cases} 6m+5n=15,\\ 3m-35n=120; \end{cases} \)

\( \begin{cases} 5n=15-6m,\\ 3m-35n=120; \end{cases} \)

\( \begin{cases} n=\frac{15-6m}{5},\\ 3m-35\cdot\frac{15-6m}{5}=120; \end{cases} \)

\(3m-^7\cancel{35}\cdot\frac{15-6m}{\cancel5}=120\)

\(3m-7\cdot(15-6m)=120\)

\(3m-105+42m=120\)

\(45m=120 + 105\)

\(45m=225\)

\(m=\frac{225}{45}\)

\(m=5\)

\(n=\frac{15-6\cdot5}{5} =\frac{15-30}{5} =\)

\(=\frac{-15}{5}=-3\)

Ответ: \(m=5\), \(n= -3\).

г) \( \begin{cases} 7x - \frac{3y}{5} = -4,   /\times 5\\ x + \frac{2y}{5} = -3       /\times 5 \end{cases} \)

\( \begin{cases} 35x - 3y = -20, \\ 5x + 2y = -15 \end{cases} \)

\( \begin{cases} 35x - 3y = -20, \\ 5x = -15 - 2y \end{cases} \)

\( \begin{cases} 35\cdot\frac{-15 - 2y}{5} - 3y = -20, \\ x = \frac{-15 - 2y}{5} \end{cases} \)

\(^7\cancel{35}\cdot\frac{-15 - 2y}{\cancel5} - 3y = -20\)

\(7\cdot(-15 - 2y) -3y=-20\)

\(-105-14y-3y=-20\)

\(-17y=-20 + 105\)

\(-17y=85\)

\(y=-\frac{85}{17}\)

\(y=-5\)

\(x = \frac{-15 - 2\cdot(-5)}{5} =\)

\(=\frac{-15+10}{5}=-\frac{5}{5} = -1\)

Ответ: \(x = -1\), \(y=-5\).

Пояснения:

Метод подстановки:

1. В каждом уравнении избавляемся от дробей, домножив обе части уравнения на общий знаменатель дробей, входящих в уравнение.

2. Из одного уравнения выражаем одну переменную через другую.

3. Подставляем полученное выражение в другое уравнение, сводя систему к одному уравнению с одной переменной.

4. Решаем это уравнение, находим значение первой переменной.

5. Подставляем найденное значение обратно для вычисления второй переменной.