Упражнение 1071 - ГДЗ Алгебра 7 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \( a(a - 4) - (a + 4)^2 = \)

\(=a^2 - 4a - (a^2 + 8a + 16)= \)

\( = a^2 - 4a - a^2 - 8a - 16 =\)

\(=-12a - 16. \)

При \(a = -\dfrac{5}{4}\):

\(-12a - 16=-12 \cdot \left(-\dfrac{5}{4}\right) - 16=\)

\(= \dfrac{60}{4} - 16 = 15 - 16 = -1. \)

Ответ: значение выражения \( a(a - 4) - (a + 4)^2 \) при \(a = -\dfrac{5}{4}\) равно \(-1.\)

б) \( (2a - 5)^2 - 4(a - 1)(3 + a)= \)

\( = 4a^2 - 20a + 25 - 4(a^2 + 2a - 3) =\)

\(=4a^2 - 20a + 25 - 4a^2 - 8a + 12= \)

\( = -28a + 37. \)

При \(a = \dfrac{1}{12}\):

\( -28a + 37=-28 \cdot \dfrac{1}{12} + 37 = \)

\(=-\dfrac{28}{12} + 37 =-\dfrac{7}{3} + \dfrac{111}{3}=\)

\(=\frac{104}{3} =34\frac{2}{3}. \)

Ответ: значение выражения  \( (2a - 5)^2 - 4(a - 1)(3 + a)\) при \(a = \dfrac{1}{12}\) равно \(34\frac{2}{3}. \)

Пояснения:

а) Упрощение выражения начинается с раскрытия скобок:

\( a(a - 4) = a^2 - 4a,\)

\((a + 4)^2 = a^2 + 8a + 16, \)

\( a^2 - 4a - (a^2 + 8a + 16) = -12a - 16 \)

После чего производится подстановка значения переменной и вычисление.

б) В квадрате двучлена применяем формулу:

\((2a - 5)^2 = 4a^2 - 20a + 25\)

Произведение раскрываем по распределительному закону:

\((a - 1)(3 + a) = a^2 + 2a - 3\)

Получаем:

\( 4a^2 - 20a + 25 - 4(a^2 + 2a - 3)=\)

\(= -28a + 37 \)

Подставив значение \(a = \dfrac{1}{12}\), находим точный ответ.

а)  \( \begin{cases} 2u + 5v = 0,\\ -8u + 15v = 7; \end{cases} \)

\( \begin{cases} 2u = -5v,\\ -8u + 15v = 7; \end{cases} \)

\( \begin{cases} u = -\frac{5}{2}v,\\ -8\cdot(-\frac{5}{2}v) + 15v = 7; \end{cases} \)

\(-8\cdot(-\frac{5}{2}v) + 15v = 7\)

\(^4\cancel{8}\cdot\frac{5}{\cancel2}v + 15v = 7\)

\(20v + 15v = 7\)

\(35v = 7\)

\(v = \frac{7}{35}\)

\(v = \frac{1}{5}\)

\(u = -\frac{5}{2}\cdot\frac{1}{5}\)

\(u = -\frac{1}{2}\)

Ответ: \(u = -\frac{1}{2}\), \(v = \frac{1}{5}\).

б) \( \begin{cases} 5p - 3q = 0,\\ 3p + 4q = 29; \end{cases} \)

\( \begin{cases} 5p = 3q,\\ 3p + 4q = 29; \end{cases} \)

\( \begin{cases} p = \frac{3}{5}q,\\ 3\cdot\frac{3}{5}q + 4q = 29; \end{cases} \)

\(3\cdot\frac{3}{5}q + 4q = 29\)

\(\frac{9}{5}q + 4q = 29\)

\(1\frac{4}{5}q + 4q = 29\)

\(5\frac{4}{5}q = 29\)

\(q = 29 : 5\frac{4}{5}\)

\(q = 29 : \frac{29}{5}\)

\(q = \cancel{29} \cdot\frac{5}{\cancel{29}}\)

\(q =5\)

\(p = \frac{3}{\cancel5}\cdot\cancel5=3\)

Ответ: \(p =3,\) \(q =5.\)

в) \( \begin{cases} 4u + 3v = 14,\\ 5u - 3v = 25; \end{cases} \)

\( \begin{cases} 3v = 14 - 4u,\\ 5u - 3v = 25; \end{cases} \)

\( \begin{cases} v = \tfrac{14 - 4u}{3},\\ 5u - 3\cdot\tfrac{14 - 4u}{3} = 25; \end{cases} \)

\( 5u - \cancel3\cdot\frac{14 - 4u}{\cancel3} = 25\)

\(5u - (14 - 4u) = 25\)

\(5u - 14 + 4u = 25\)

\(9u = 25 + 14\)

\(9u = 39\)

\(u = \frac{39}{9}= \frac{13}{3} = 4\frac{1}{3}\)

\( v = \frac{14 - 4\cdot4\tfrac{1}{3}}{3}=\)

\(=\frac{14 - 4\cdot\frac{13}{3}}{3} = \frac{14 - \frac{52}{3}}{3} =\)

\(= \frac{\frac{42 - 52}{3}}{3} =\frac{-\tfrac{10}{3}}{3}= -\frac{10}{9} = -1\frac{1}{9}. \)

Ответ: \(u = 4\frac{1}{3},\) \(v = -1\frac{1}{9}. \)

г) \( \begin{cases} 10p + 7q = -2,\\ 2p - 22 = 5q. \end{cases} \)

\( \begin{cases} 10p + 7q = -2,\\ 2p = 5q + 22. \end{cases} \)

\( \begin{cases} 10\cdot\tfrac{5q + 22}{2}+ 7q = -2,\\ p = \tfrac{5q + 22}{2}. \end{cases} \)

\( ^2\cancel{10}\cdot\frac{5q + 22}{\cancel2}+ 7q = -2\)

\(5(5q + 22) + 7q = -2\)

\(25q + 110 + 7q = -2\)

\(32q = -2 - 110\)

\(32q = -112\)

\(q = -\frac{112}{32} = -\frac{7}{2}=-3,5\)

\( p = \frac{5\cdot(-3,5) + 22}{2} = \frac{-17,5 + 22}{2} =\)

\(=\frac{4,5}{2} = 2,25. \)

Ответ: \(q = -3,5,\) \(p= 2,25. \)

Пояснения:

Метод подстановки:

1. Из одного уравнения выражаем одну переменную через другую.

2. Подставляем полученное выражение в другое уравнение, сводя систему к одному уравнению с одной неизвестной.

3. Решаем это уравнение, находим значение первой переменной.

4. Подставляем найденное значение обратно, чтобы найти вторую переменную.