Упражнение 1054 - ГДЗ Алгебра 7 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

Пусть \(x\) - количество глубоких тарелок, \(y\) - количество мелких тарелок.

Составим уравнение по общей сумме:

\(350x + 300y = 3200; \)       \(|:50\)

\(7x + 6y = 64,\) откуда:

\(x = \frac{64 - 6y}{7}.\)

Подберём целые неотрицательные значения \(y\), при которых числитель делится на 7:

— Если \(y = 0\), то \(x = \frac{64}{7}\) (не целое).

— Если \(y = 1\), то \(x = \frac{64 - 6}{7} = \frac{58}{7}\) (не целое).

— Если \(y = 2\), то \(x = \frac{64 - 12}{7} = \frac{52}{7}\) (не целое).

— Если \(y = 3\), то \(x = \frac{64 - 18}{7} = \frac{46}{7}\) (не целое).

— Если \(y = 4\), то \(x = \frac{64 - 24}{7} = \frac{40}{7}\) (не целое).

— Если \(y = 5\), то \(x = \frac{64 - 30}{7} = \frac{34}{7}\) (не целое).

— Если \(y = 6\), то \(x = \frac{64 - 36}{7} = \frac{28}{7} = 4\) (целое).

При \(y \ge 7\) числитель \(64 - 6y\) становится меньше нуля, что даёт \(x<0\) — не подходит.

Значит, единственное решение: \(x = 4\), \(y = 6\).

Ответ: хозяйка купила 4 глубокие и 6 мелких тарелок.

Пояснения:

Использованные правила и приёмы:

– Составление линейного уравнения на основании суммы стоимостей.

– Упрощение уравнения делением на общий множитель.

– Поиск целочисленных решений методом подбора значений.

1. Обозначения:

\(x\) — число глубоких тарелок, \(y\) — число мелких тарелок.

2. Составление уравнения:

350 р. за каждую глубокую и 300 р. за каждую мелкую дают в сумме 3200 р.:
\[350x + 300y = 3200.\]

3. Упрощение:

Разделили на 50, чтобы сократить коэффициенты:
\[7x + 6y = 64.\]

4. Поиск решений:

Выразили \(x\) через \(y\) и проверили небольшие неотрицательные \(y\), при которых дробь становится целой.

5. Вывод:

Подошло только \(y=6\), тогда \(x=4\). Хозяйка купила 4 глубокие и 6 мелких тарелок.

а)  \( \frac{16 - x}{8} - \frac{18 - x}{12} = 0; \)      \(|\times24\)

\( 24 \cdot \left( \frac{16 - x}{8} - \frac{18 - x}{12} \right) = 24 \cdot 0;\)

\(3(16 - x) - 2(18 - x) = 0; \)

\( 48 - 3x - 36 + 2x = 0;\)

\(12 - x = 0;\)

\(x = {12}. \)

Ответ: \(x = {12}. \)

б) \( \frac{x - 15}{2} - \frac{2x + 1}{8} + 1 = 0; \)       \(|\times8\)

\( 8 \cdot \left( \frac{x - 15}{2} - \frac{2x + 1}{8} + 1 \right) = 8 \cdot 0;\)

\(4(x - 15) - (2x + 1) + 8 = 0; \)

\( 4x - 60 - 2x - 1 + 8 = 0;\)

\(2x - 53 = 0;\)

\(x = \frac{53}{2}; \)

\(x = 26{,}5.\)

Ответ: \(x = 26{,}5.\)

Пояснения:

Во всех пунктах первым шагом умножаем обе части уравнения на наименьшее общее кратное знаменателей, чтобы «сократить» дроби и перейти к линейному уравнению без дробей.

Далее раскрываем скобки (если есть), приводим подобные слагаемые. Слагаемые, содержащие переменную, переносим влево, остальные - вправо, если есть подобные - приводим. Данные шаги позволяют получить линейное уравнение вида \(a\,x = b\), корень которого: \(x = \frac{b}{a}\).