Упражнение 1053 - ГДЗ Алгебра 7 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

Пусть \(x\) - число тетрадей, \(y\) — число карандашей.

Составим уравнение по сумме затрат:

\(50x + 70y = 440\)   \(|:10\)

\(5x + 7y = 44,\) откуда:

\(x = \frac{44 - 7y}{5}.\)

Так как \(x\) должно быть целым и неотрицательным, переберём целые неотрицательные \(y\), при которых числитель делится на 5:

— Если \(y=0\), то \(x = \frac{44-0}{5} = \frac{44}{5}\) (не целое).

— Если \(y=1\), то \(x = \frac{44-7}{5} = \frac{37}{5}\) (не целое).

— Если \(y=2\), то \(x = \frac{44-14}{5} = \frac{30}{5} = 6\) (целое).

— Если \(y\ge3\), то \(44 - 7y < 44 - 21 = 23\), и при последующих проверках целого \(x\) не получится.

Единственное целое решение уравнения: \(x = 6\), \(y = 2\).

Ответ: 6 тетрадей.

Пояснения:

Использованные правила и приёмы:

– Составление линейного уравнения с двумя переменнымипо стоимости товаров.

– Упрощение уравнения делением на общий множитель.

– Поиск целочисленных решений методом подбора.

1. Переменные: \(x\) — количество тетрадей, \(y\) — количество карандашей.

2. Уравнение: стоимость тетрадей \(50x\) плюс стоимость карандашей \(70y\) равна общей сумме 440 р.

3. Упрощение: разделили на 10, чтобы избавиться от нулей.

4. Поиск решений: выразили \(x\) через \(y\) и проверили небольшое количество значений \(y\), при которых дробь превращается в целое число.

5. Вывод: подошло только \(y=2\), тогда \(x=6\).

Пояснения к пункту 1:

Если \(a > 0\), \(b > 0\):

• \(ax = b \Rightarrow x = \frac{b}{a}\) — вертикальная прямая справа от начала координат, проходит через I и IV четверти.
• \(ay = b \Rightarrow y = \frac{b}{a}\) — горизонтальная прямая выше начала координат, проходит через I и II четверти.
• \(ax + by = c\) — если \(a, b > 0\), то пересечения с осями положительные, значит прямая проходит через I, II и III четверти.

а) \(12x - 8y = 25.\)

Точки пересечения с осями:

• если \(x = 0\): \(-8y = 25 \Rightarrow y = -\frac{25}{8}\)
• если \(y = 0\): \(12x = 25 \Rightarrow x = \frac{25}{12}\)

График проходит через I, III, IV четверти.

б) \(6x + 3y = 11\).

Точки пересечения с осями:

• если \(x = 0\): \(3y = 11 \Rightarrow y = \frac{11}{3}\)
• если \(y = 0\): \(6x = 11 \Rightarrow x = \frac{11}{6}\)

График проходит через I, II, IV четверти.

в) Уравнение \(1{,}5x = 150 \Rightarrow x = 100\)

Это вертикальная прямая \(x = 100\), проходит через I и IV четверти.

г) Уравнение \(0{,}2x = 43 \Rightarrow x = 215\)

Также вертикальная прямая \(x = 215\) → проходит через I и IV четверти.

Ответ:

• а) I, III, IV четверти
• б)  I, II, IV четверти
• в) I и IV четверти
• г) I и IV четверти

1) Приведём к виду \(y = kx + b\) и запомним знак \(b\):

а) \(12x - 8y = 25\;\Longrightarrow\;y = \tfrac{3}{2}x - \tfrac{25}{8},\;b = -\tfrac{25}{8}<0.\)

б) \(6x + 3y = 11\;\Longrightarrow\;y = -2x + \tfrac{11}{3},\;b = \tfrac{11}{3}>0.\)

2) Проанализируем знак \(k\) и \(b\):

– если \(k>0\) и \(b<0\), прямая растёт, пересекает ось \(Ox\) справа от начала, ось \(Oy\) ниже начала → проходит через I, IV и III четверти;

– если \(k<0\) и \(b>0\), прямая убывает, пересекает ось \(Ox\) справа, ось \(Oy\) выше начала → проходит через I, II и IV четверти.

Поэтому:

а) \(k=\tfrac{3}{2}>0,\;b<0\) → I, IV, III четверти;

б) \(k=-2<0,\;b>0\) → I, II, IV четверти.

3) Вертикальные прямые:

в) \(1{,}5x=150\;\Longrightarrow\;x=100>0\) → прямая в I и IV;

г) \(0{,}2x=43\;\Longrightarrow\;x=215>0\) → прямая в I и IV.

Пояснения:

– Любую прямую можно записать как \(y = kx + b\). Коэффициент \(k\) показывает наклон, \(b\) — точку пересечения с осью \(Oy\). Знаки \(k\) и \(b\) вместе с положением пересечения с осью \(Ox\) определяют, в каких четвертях лежит график.

– Для вертикальных прямых \(x = d\) положение зависит только от знака \(d\): если \(d>0\), график лежит в I и IV четвертях; если \(d<0\), — в II и III.

1) \(ax = b\). При \(a>0\) получаем \[ x = \frac{b}{a}\ge0, \] то есть вертикальную прямую в точке \(x=\tfrac{b}{a}\) справа от или на оси \(Oy\). Такая прямая лежит в I и IV четвертях.

2) \(ay = b\). При \(a>0\) получаем \[ y = \frac{b}{a}\ge0, \] то есть горизонтальную прямую в точке \(y=\tfrac{b}{a}\) выше или на оси \(Ox\). Такая прямая лежит в I и II четвертях.

3) \(ax + by = c\). При \(a>0\), \(b>0\) находим пересечения:

\(x\)-перехват: \(\bigl(\tfrac{c}{a},0\bigr)\ge0,\quad y\)-перехват: \(\bigl(0,\tfrac{c}{b}\bigr)\ge0.\)

Линия убывает (наклон \(-\tfrac{a}{b}\)<0) и проходит через II (при \(x<0,y>0\)), I (при \(00\)), и IV (при \(x>\tfrac{c}{a},\,y<0\)) четверти.

Пояснения:

• Вертикальная прямая \(x=d\) с \(d>0\) лежит в I и IV четвертях; при \(d=0\) совпадает с осью \(Oy\).

• Горизонтальная прямая \(y=d\) с \(d>0\) лежит в I и II четвертях; при \(d=0\) совпадает с осью \(Ox\).

• Прямая \(ax+by=c\) (с \(a,b>0\)) имеет отрицательный наклон и положительные перехваты, поэтому уходит в II, затем через I, и дальше в IV четверть.