Упражнение 897 - ГДЗ Алгебра 7 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(2x - \frac{x-2}{2} = \frac{x}{3} - 6\)   /\(\times 6\)

\(6\cdot2x - \cancel{6}^3\cdot\frac{x-2}{\cancel2} = \cancel{6}^2\cdot\frac{x}{\cancel3} - 6\cdot6\)

\(12x - 3(x-2) = 2x - 36\)

\(12x - 3x + 6 = 2x - 36\)

\(12x -3x - 2x = -36 - 6\)

\[7x = -42\]

\(x=-\frac{42}{7}\)

\(x = -6\)

Ответ: \(x = -6\).

б) \(1 + \frac{x+1}{3} = x - \frac{3x+1}{8}\)   / \(\times 24\)

\(24\cdot1 + \cancel{24}^8\cdot\frac{x+1}{\cancel3} = 24x - \cancel{24}^3\cdot\frac{3x+1}{\cancel8}\) 

\(24 + 8(x+1) = 24x - 3(3x+1)\)

\(24 + 8x + 8 = 24x - 9x - 3\)

\(8x - 24x + 9x = -3 - 24 - 8\)

\( -7x = -35\)

\(x=\frac{35}{7}\)

\(x = 5\)

Ответ: \(x = 5\).

в) \(\frac{1 - y}{7} + y = \frac{y}{2} + 3\)   \\(\times 14\)

\(\cancel{14}^2\cdot\frac{1 - y}{\cancel7} + 14y = \cancel{14}^7\cdot\frac{y}{\cancel2} + 14\cdot3\)

\(\ 2(1 - y) + 14y = 7y + 42\)

\(2 - 2y + 14y = 7y + 42\)

\( - 2y + 14y - 7y = 42 - 2\)

\(5y = 40\)

\(x=\frac{40}{5}\)

\(y = 8\)

Ответ: \(y = 8\).

г) \(6 = \frac{3x - 1}{\cancel2}\cdot \cancel{2{,}4}^{1,2}\)  

\( 6 = 1{,}2(3x - 1)\)

\(3x - 1 = 6 : 1{,}2\)

\(3x - 1 = 60 : 12\)

\(3x - 1 = 5\)

\(3x = 5 + 1\)

\(3x = 6\)

\(x=\frac{6}{3}\)

\(x = 2\)

Ответ: \(x = 2\).

д) \(0{,}69 = \frac{5 - 2y}{8}\cdot 13{,}8\)   \\(\times 8\)

\(8\cdot0{,}69 = \cancel8\cdot\frac{5 - 2y}{ \cancel8}\cdot 13{,}8\)

\(5,52 = (5 - 2y)\cdot13,8\)

\(5-2y=\frac{5{,}52}{13{,}8}\)

\(5-2y=\frac{552}{1380}\)

\(5 - 2y = 0{,}4\)

\(-2y = 0{,}4 - 5\)

\(-2y = -4{,}6\)

\(y=\frac{4,6}{2}\)

\(y = 2{,}3\)

Ответ: \(y = 2{,}3\).

е) \(0{,}5\cdot \frac{4 + 2x}{13} = x - 10\)   \\(\times 13\)

\(0{,}5\cdot \frac{4 + 2x}{\cancel{13}} \cdot\cancel{13}= 13x - 13\cdot10\) 

\(0,5\cdot(4 + 2x) = 13x - 130\)

\(2 + x=13x-130\)

\(x - 13x=-130-2\)

\(-12x = -132\)

\(y=\frac{132}{12}\)

\(x = 11\)

Ответ: \(x = 11\).

Пояснения:

Использованные приёмы и формулы:

1. Свойства уравнений:

• корни уравнения не изменяются, если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю;
• корни уравнения не изменяются, если какое-нибудь слагаемое перенести из одной части уравнения в другую, изменив при этом его знак.

2. Распределительное свойство умножения:

• \(a(b+c) = ab+ac;
• \(a(b-c) = ab-ac.

3. Правило сложения подобных членов: складываем коэффициенты при одинаковых степенях переменных:

\(ax + bx=(a+b)x\).

4. Линейное уравнение вида \(ax=b\) при \(a\neq0\) имеет единственный корень: \(x = \frac{b}{a}\).

В пунктах а), б), в), д), е) уравнения содержат дроби — мы умножаем обе части на наименьшее общее кратное знаменателей, чтобы перейти к линейным уравнениям без дробей.

В пункте г) сначала упростили правую часть, сократив на 2, раскрыли скобки и получили линейное уравнение.

а) \( (2x + y)^2 - (x - 2y)^2 =\)

\(=\bigl((2x+y)-(x-2y)\bigr)\,\bigl((2x+y)+(x-2y)\bigr) = \)

\(=(2x+y-x+2y)(2x+y+x-2y) = \)

\(=(x + 3y)\,(3x - y). \)

б) \( (a + b)^2 - (b + c)^2 = \)

\(=\bigl((a+b)-(b+c)\bigr)\,\bigl((a+b)+(b+c)=\)

\(=(a+b-b-c)(a+b+b+c)\bigr) =\)

\(=(a - c)\,(a + 2b + c). \)

в) \( (m + n)^2 - (m - n)^2 =\)

\(=\bigl((m+n)-(m-n)\bigr)\,\bigl((m+n)+(m-n)\bigr) =\)

\(=(m+n-m+n)(m+n+m-n)=\)

\(=2n\cdot2m=4mn. \)

г) \( (4c - x)^2 - (2c + 3x)^2 =\)

\(=\bigl((4c - x)-(2c+3x)\bigr)\,\bigl((4c - x)+(2c+3x)\bigr) = \)

\(=(4c - x-2c-3x)(4c - x+2c+3x) = \)

\(=(2c - 4x)\,(6c + 2x) = \)

\(=2(c - 2x)\cdot2(3c + x) = \)

\(=4(c - 2x)(3c + x).\)

Пояснения:

Использованная формула:

\( u^2 - v^2 = (u - v)(u + v) \) - разность квадратов двух выражений.

1. Каждое выражение записали в виде разности квадратов \(u^2 - v^2\), где \(u\) и \(v\) — соответствующие двучлены из условия.

2. Подставили \(u\) и \(v\) в формулу, вычислили разность и сумму двучленов и получили произведение двух множителей. При вычитание двучленов, раскрывая скобки, меняем знаки вычитаемого двучлена на противоположные, затем приводим подобные слагаемые в каждом множителе:

\(ax + bx=(a+b)x\).

3. В пункте г) после разложения на множители по формуле разности квадратов, выносим из каждого множителя числовые множители за скобки и перемножаем их.