Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№900 учебника 2023-2025 (стр. 180):
Разложите на множители многочлен:
а) \(25x^2 - y^2\);
б) \(-m^2 + 16n^2\);
в) \(36a^2 - 49\);
г) \(64 - 25x^2\);
д) \(9m^2 - 16n^2\);
е) \(64p^2 - 81q^2\);
ж) \(-49a^2 + 16b^2\);
з) \(0{,}01n^2 - 4m^2\);
и) \(9 - b^2c^2\);
к) \(4a^2b^2 - 1\);
л) \(p^2 - a^2b^2\);
м) \(16c^2d^2 - 9a^2\).
№900 учебника 2013-2022 (стр. 179):
(Задача-исследование.) Верно ли, что если \(p\) — простое число, большее трёх, то значение выражения \(\;p^2-1\;\) кратно 12?
1) Проверьте правильность утверждения на конкретных примерах.
2) Разложите многочлен \(\;p^2-1\;\) на множители. Обсудите, почему полученное произведение кратно 4.
3) Обсудите, почему полученное произведение делится на 3.
4) Сделайте вывод.
№900 учебника 2023-2025 (стр. 180):
Вспомните:
№900 учебника 2013-2022 (стр. 179):
Вспомните:
№900 учебника 2023-2025 (стр. 180):
а) \(25x^2 - y^2 = (5x)^2 - y^2= \)
\(=(5x - y)(5x + y)\)
б) \(-m^2 + 16n^2 = 16n^2 - m^2 =\)
\(=(4n)^2 - m^2 = (4n - m)(4n + m)\)
в) \(36a^2 - 49 = (6a)^2 - 7^2=\)
\(=(6a - 7)(6a + 7)\)
г) \(64 - 25x^2 =8^2 - (5x)^2=\)
\(=(8 - 5x)(8 + 5x)\)
д) \(9m^2 - 16n^2 = (3m)^2 - (4n)^2=\)
\(=(3m - 4n)(3m + 4n)\)
е) \(64p^2 - 81q^2 = (8p)^2 - (9q)^2=\)
\(=(8p - 9q)(8p + 9q)\)
ж) \(-49a^2 + 16b^2 = 16b^2 - 49a^2 =\)
\(= (4b)^2 - (7a)^2=\)
\(=(4b - 7a)(4b + 7a)\)
з) \(0{,}01n^2 - 4m^2 = \)
\(=(0,1n)^2 - (2m)^2= \)
\(= (0{,}1n - 2m)(0{,}1n + 2m)\)
и) \(9 - b^2c^2 = 3 - (bc)^2= \)
\(=(3 - bc)(3 + bc)\)
к) \(4a^2b^2 - 1 = (2ab)^2 - 1^2=\)
\(= (2ab - 1)(2ab + 1)\)
л) \(p^2 - a^2b^2 = p^2 - (ab)^2 =\)
\(=(p - ab)(p + ab)\)
м) \(16c^2d^2 - 9a^2 = (4cd)^2 - (3a)^2=\)
\(=(4cd - 3a)(4cd + 3a)\)
Пояснения:
Использованная формула:
\( a^2 - b^2 = (a - b)(a + b). \)
При этом учитывали свойство степени:
\(a^nb^n=(ab)^n\).
№900 учебника 2013-2022 (стр. 179):
\(p\) - простое число, \(p>3\).
\(p^2-1\) - кратно 12?
1) Примеры:
Если \(p=5\), то
\(5^2-1 = 25 - 1=24,\)
\(24:12=2.\)
Если \(p=7\), то
\(7^2-1 = 49 - 1=48,\)
\(48:12=4.\)
Если \(p=11\), то
\(11^2-1=121 - 1 =120,\)
\(120:12=10.\)
Во всех случаях \(\,p^2-1\) делится на 12.
2) \( p^2-1 = (p-1)(p+1) \)
\(p>3\), значит, (\p\) - нечётное число, тогда числа \(p-1\) и \(p+1\) оба чётные и каждое из них делится на 2, значит, их произведение делится на 4.
3) Три последовательных числа \(p-1\), \(p\), \(p+1\) включают одно число, которое делится на 3. Поскольку \(p\) — простое большее 3, оно не делится на 3, значит либо \(p-1\), либо \(p+1\) делится на 3. Это число входит в произведение
\((p-1)(p+1)\), поэтому произведение делится на 3.
4) Вывод:
Выражение \((p-1)(p+1)\) делится на 4 и на 3, значит, оно кратно \(4\cdot3=12\). Получается, для любого простого числа \(p>3\) выражение \(p^2-1\) делится на 12.
Пояснения:
— В пункте 2 использована формула разности квадратов: разность квадратов двух выражений равна произведению разности этих выражений и их суммы.
— В пункте 3 опора на свойство трёх последовательных чисел: одно из них обязательно кратно 3.
Вернуться к содержанию учебника