Упражнение 717 - ГДЗ Алгебра 7 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

Пусть наименьшее нечётное число как \(2n+1\), тогда следующие два нечётных числа: \(2n+3\) и \(2n+5\). Известно, что если из произведения \((2n+3)(2n+5)\) двух вычесть произведение \((2n+1)(2n+3)\), то получается 76.

Составим уравнение:

\( (2n+3)(2n+5) - (2n+1)(2n+3) = 76 \)

\(4n^2 + 10n + 6n + 15 - (4n^2 + 6n + 2n + 3) = 76 \)

\(4n^2 + 16n + 15 - (4n^2 + 8n + 3) = 76 \)

\(4n^2 + 16n + 15 - 4n^2 - 8n - 3 = 76 \)

\(16n - 8n  = 76 - 15 + 3 \)

\(8n  = 64 \)

\(n = \frac{64}{8}\)

\(n = 8\)

\(2\cdot8+1 = 16 + 1 = 17\) - первое нечетное число.

\(2\cdot8+3 = 16 + 3 = 19\) - второе нечетное число.

\(2\cdot8+5 = 16 + 5 = 21\) - третье нечетное число.

Ответ: числа 17, 19, 21.

Пояснения:

Использованные правила и приёмы:

1. Обозначение последовательных нечётных чисел как \(2n+1,\;2n+3,\;2n+5\).

2. Раскрытие произведения скобок:

\((a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd\).

3. Вычитание многочленов: чтобы вычесть \((P(x) - Q(x))\), меняем знак у всех членов \(Q(x)\) и складываем с \(P(x)\).

4. Приведение подобных членов:

\(ax^2 + bx + cx^2 = (a+c)x^2 + bx\).

5. Перенос членов через знак «=»: если

\(A + C= B + D\), то \(A - D = B - C\).

6. Решение линейного уравнения:

из \(ax = b\) следует \(x = \tfrac{b}{a}\) при \(a\neq0\).

Пояснения к шагам:

1) вводим обозначения: \(2n+1,\;2n+3,\;2n+5\);

2) записали разность произведений двух больших и двух меньших чисел;

3) перемножили пары скобок;

4) раскрыли скобки, учитывая знак минус перед ними;

5) сократили противоположные выражения и привели подобные;

6) перенесли выражения без переменной из левой части уравнения в правую, получили линейное уравнение \(8n  = 64 \), откуда нашли \(n = 8\).

7) подставили \(n\) в веденные обозначения и нашли числа \(17,19,21\).

а) \( x^2y + x + xy^2 + y + 2xy + 2 =\)

\(=(x^2y + xy^2 + 2xy) + (x + y + 2) =\)

\(=xy\,(x+y+2) + 1\cdot(x+y+2) =\)

\(=(xy+1)\,(x+y+2). \)

б) \( x^2 - xy + x - xy^2 + y^3 - y^2 =\)

\(=(x^2 - xy^2) + (x - y^2) - (xy - y^3) =\)

\(=x\,(x - y^2) + 1\cdot(x - y^2) - y\,(x - y^2) =\)

\(=(x - y^2)\,(x + 1 - y). \)

Пояснения:

Использованные правила:

1. Группировка однотипных слагаемых.

2. Вынесение общего множителя за скобку:

\(A\cdot X + B\cdot X = (A+B)\,X,\)

\(A\cdot X - B\cdot X = (A-B)\,X,\)

Обращаем внимание на то, что при вынесении отрицательного множителя за скобки, знаки слагаемых, оставшихся в скобках, меняем на противоположные.

3. Перестановка слагаемых не меняет результат:

\(A + B = B + A\).

4. Умножение степеней:

\(a^n + a^m=a^{m+n}\).

Пояснение к пункту а):

Сгруппировали первый, третий и пятый члены, второй, четвертый и шестой члены, вынесли общие множители \(xy\) и \(1\) в каждой группе соответственно, получили общий множитель \(x+y+2\), который вынесли за скобку, и получили разложение

\((xy+1)\,(x+y+2). \)

Пояснение к пункту б):

Сгруппировали первый и четвертый члены, третий и шестой члены, второй и пятый члены, вынесли общие множители \(x\), \(1\) и \(y\) в каждой группе соответственно, получили общий множитель \(x-y^2\), который вынесли за скобку, и получили разложение

\((x - y^2)\,(x + 1 - y). \)