Упражнение 1171 - ГДЗ Алгебра 7 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 230

\((x + 2)(y + 3) = 0\)

С осью \(x\):   \(y = 0\).

\( (x + 2)(0 + 3) = 0 \)

\(3(x + 2) = 0 \)

\(x + 2 = 0 \)

\( x = -2 \)

\((-2;0)\) - точка пересечения с осью \(x\).

С осью \(y\):  \(x = 0\)

\( (0 + 2)(y + 3) = 0 \)

\(2(y + 3) = 0 \)

\(y + 3 = 0 \)

\(y = -3 \)

\((0;-3)\) - точка пересечения с осью \(y\).

Пояснения:

– Для пересечения с осью \(x\) подставляют \(y=0\) и решают уравнение по \(x\).

– Для пересечения с осью \(y\) подставляют \(x=0\) и решают уравнение по \(y\).

– Уравнение \((x+2)(y+3)=0\) означает объединение решений

\(x+2=0\) и \(y+3=0\), то есть двух прямых.

– Точка пересечения графика с осью \(x\) лежит на первой прямой \(x=-2\), с осью \(y\) — на второй прямой \(y=-3\).

а) \( \begin{cases} (x-1)^2 - (x+2)^2 = 9y,\\ (y-3)^2 - (y+2)^2 = 5x; \end{cases} \)

\( \begin{cases} x^2 - 2x + 1 - (x^2 + 4x + 4) = 9y,\\ y^2 - 6y + 9 - (y^2 + 4y + 4) = 5x; \end{cases} \)

\( \begin{cases} \cancel{x^2} - 2x + 1 - \cancel{x^2} - 4x - 4 - 9y = 0,\\ \cancel{y^2} - 6y + 9 - \cancel{y^2} - 4y - 4 - 5x = 0; \end{cases} \)

\( \begin{cases} -6x - 9y = 4 - 1,\\ -10y - 5x = -9 + 4; \end{cases} \)

\( \begin{cases} -6x - 9y = 3,   /\times(-5) \\ - 5x - 10y = -5;  /\times6 \end{cases} \)

\( \begin{cases} 30x + 45y = -15, \\ -30x - 60y = -30; \end{cases} \)     \((+)\)

\( \begin{cases} -15y = -45, \\ 30x = 30 - 60y; \end{cases} \)

\( \begin{cases} y = \frac{45}{15}, \\ 30x = 30 - 60y; \end{cases} \)

\( \begin{cases} y = 3, \\ 30x = 30 - 60\cdot3; \end{cases} \)

\( \begin{cases} y = 3, \\ 30x = 30 - 180; \end{cases} \)

\( \begin{cases} y = 3, \\ 30x = -150; \end{cases} \)

\( \begin{cases} y = 3, \\ x = -\frac{150}{30}; \end{cases} \)

\( \begin{cases} y = 3, \\ x = -5. \end{cases} \)

Ответ: \(y = 3, \) \( x = -5.\)

б) \( \begin{cases} (7+u)^2 - (5+u)^2 = 6v,\\ (2 - v)^2 - (6 - v)^2 = 4u; \end{cases} \)

\( \begin{cases} 49 + 14u + u^2 - (25 + 10u + u^2) = 6v,\\ 4 - 4v + v^2 - (36 - 12v + v^2) = 4u; \end{cases} \)

\( \begin{cases} 49 + 14u + \cancel{u^2} - 25 - 10u - \cancel{u^2} - 6v = 0,\\ 4 - 4v + \cancel{v^2} - 36 + 12v - \cancel{v^2} - 4u = 0; \end{cases} \)

\( \begin{cases} 4u - 6v = 25 - 49,\\ -4u + 8v = 36 - 4; \end{cases} \)

\( \begin{cases} 4u - 6v = -24,\\ -4u + 8v = 32; \end{cases} \)     \((+)\)

\( \begin{cases} 2v = 8,\\ -4u + 8v = 32; \end{cases} \)

\( \begin{cases} v = \frac82,\\ 4u = 8v - 32; \end{cases} \)

\( \begin{cases} v = 4,\\ 4u = 8\cdot4 - 32; \end{cases} \)

\( \begin{cases} v = 4,\\ 4u = 32 - 32; \end{cases} \)

\( \begin{cases} v = 4,\\ 4u =0; \end{cases} \)

\( \begin{cases} v = 4,\\ u = 0; \end{cases} \)

Ответ: \(u = 0,\) \(v = 4.\)

Пояснения:

Использованные правила и приёмы:

– Сначала применили формулы квадрата суммы

\((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\)

и квадрата разности

\((a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\).

– Далее раскрыли скобки, учитывая знаки перед ними:

\(a+ (b + c) = a + b + c\),

\(a+ (b + c) = a + b + c\).

– Перенос членов из одной части уравнения в другую:

если \(a+b=c+d\), то \(a-d=c-b\).

– Приведение подобных членов:

\(ax + bx = (a + b)x\).

– Решение системы методом сложения: складываем почленно уравнения системы так, чтобы в новом уравнении исчезла одна из переменных. Там, где необходимо, одно из уравнений или оба уравнения делим или умножаем на числа так, чтобы перед одной из переменных получить противоположные коэффициенты, которые при сложении приведут к сокращению выражений с этой переменной.

– После сложения уравнений системы получается линейное уравнение с одной переменной, решение которого дает значение этой переменной.

– Уравнение вида \(ax = b\) называется линейным и при \(a \neq 0\) имеет единственный корень \(x=\frac{b}{a}\).

– Подстановка: после нахождения одной переменной подставляем её значение в одно из исходных уравнений для вычисления значения второй переменной.