Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№1139 учебника 2023-2025 (стр. 225):
(Задача-исследование.) На сколько надо уменьшить число 100, чтобы при делении полученной разности на 5, так и на 7 остаток был равен 1 и при этом первое частное было на 2 больше второго?
1) Обсудите, какие обозначения удобно ввести для решения задачи.
2) Составьте систему уравнений и решите ее.
3) Проверьте правильность полученного ответа.
№1139 учебника 2013-2022 (стр. 226):
Докажите, что если в уравнении \(a x + b y = 81\) коэффициенты \(a\) и \(b\) — целые числа, то пара чисел \((15;40)\) не может быть решением этого уравнения.
№1139 учебника 2023-2025 (стр. 225):
Вспомните:
№1139 учебника 2013-2022 (стр. 226):
Вспомните:
№1139 учебника 2023-2025 (стр. 225):
Пусть \(x\) частное при делении уменьшенного числа на 5, а \(y\) — частное при делении на 7.
Составим систему по условиям деления с остатком и по разности частных:
\( \begin{cases} 5x + 1 = 7y + 1,\\ x - y = 2 \end{cases} \)
\( \begin{cases} 5x - 7y = 1 - 1,\\ x - y = 2 /\times(-5) \end{cases} \)
\( \begin{cases} 5x - 7y = 0,\\ -5x + 5y = -10 \end{cases} \)
\( \begin{cases} -2y = -10,\\ 5x - 7y = 0 \end{cases} \)
\( \begin{cases} y = \frac{10}{2},\\ 5x = 7y \end{cases} \)
\( \begin{cases} y = 5,\\ 5x = 7\cdot5 \end{cases} \)
\( \begin{cases} y = 5,\\ 5x = 35 \end{cases} \)
\( \begin{cases} y = 5,\\ x = \frac{35}{5} \end{cases} \)
\( \begin{cases} y = 5,\\ x = 7 \end{cases} \)
\(7\cdot5 + 1 = 36\)
\(5\cdot7 + 1 = 36\)
\(100 - 36 = 64 \)
Ответ: число 100 надо уменьшить на 64.
Пояснения:
Используемые приёмы:
1) Введение переменных \(x\), \(y\) для частных и \(m\) для уменьшения.
2) Составление системы по формулам деления с остатком и по условию \(x=y+2\).
3) Решение системы методом сложения: складываем почленно уравнения системы так, чтобы в новом уравнении исчезла одна из переменных. Там, где необходимо, одно из уравнений или оба уравнения делим или умножаем на числа так, чтобы перед одной из переменных получить противоположные коэффициенты, которые при сложении приведут к сокращению выражений с этой переменной.
4) После сложения уравнений системы получается линейное уравнение с одной переменной, решение которого дает значение этой переменной.
5) Уравнение вида \(ax = b\) называется линейным и при \(a \neq 0\) имеет единственный корень \(x=\frac{b}{a}\).
6) Подстановка: после нахождения одной переменной подставляем её значение в одно из исходных уравнений для вычисления значения второй переменной.
7) Учитывая то, что
\(7\cdot5 + 1 = 36\) и \(5\cdot7 + 1 = 36\),
число 100 надо уменьшить на 64, так как \(100 - 36 = 64 \).
№1139 учебника 2013-2022 (стр. 226):
\(a x + b y = 81\),
\(a\) и \(b\) — целые числа.
\( 15a + 40b = 81 \)
\(15a\) и \(40b\) делятся на 5, значит, сумма \(15a + 40b\) тоже делится на 5, число 81 не делится на 5 без остатка.
Получаем противоречие: левая часть делится на 5, а правая не делится. Значит, целых \(a\) и \(b\), при которых подстановка \((15;40)\) даёт 81, не существует.
Пояснения:
– Из того, что оба слагаемых \(15a\) и \(40b\) делятся на 5, сразу следует, что и их сумма делится на 5.
– Так как 81 при делении на 5 даёт остаток 1, оно не может быть равно сумме, делящейся на 5.
– Противоречие доказывает, что заданная пара не является решением уравнения при целых коэффициентах.
Вернуться к содержанию учебника