Упражнение 1143 - ГДЗ Алгебра 7 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

\( y = -x^2 - 6x - 11 =\)

\(=-\bigl(x^2 + 6x + 11\bigr) =\)

\(=-\Bigl(\,(x^2 + 6x + 9) + 2\Bigr) = \)

\(=-\bigl((x+3)^2 + 2\bigr) =\)

\(=-(x+3)^2 - 2. \)

\((x+3)^2 \ge 0\) для любого \(x\), тогда

\( -(x+3)^2 \le 0, \) значит,

\( y = -(x+3)^2 - 2 \le -2 < 0 \) при всех \(x\), то есть график данной функции лежит в нижней полуплоскости.

Пояснения:

Использованные приёмы:

1) Квадрат суммы двух выражений:

\((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2).

2) Противоположные выражения:

\(-(a +b) = -a-b\).

3) Квадрат любого действительного числа неотрицателен: \((x+3)^2 \ge 0\).

3) Вывод, что сумма отрицательного полного квадрата и числа \(-2\) всегда меньше нуля.

Пусть \(x\) десятки исходного числа, а \(y\) - единицы. Тогда исходное число \(\overline{9xy}\), а новое число \(\overline{xy9}\). Известно, что новое число на 576 меньше исходного.

Составим уравнение:

\(\overline{xy9} - \overline{9xy} = 576,\)

\( (900 + 10x + y) - (100x + 10y + 9) = 576,\)

\( 900 + 10x + y - 100x - 10y - 9 = 576,\)

\( 891 - 90x - 9y = 576, \)

\( -90x - 9y = 576 - 891\)

\( -90x - 9y =-315, \)    / \( :(-9)\)

\( 10x + y = 35. \)

\(\overline{xy}=35\)

 \(x = 3\), \(y = 5\).

\(\overline{9xy}=935. \)

Ответ: 935.

Пояснения:

– Представление трёхзначного числа через цифры: если оно \(\overline{abc}\), то равно \(100a + 10b + c\).

– При перестановке цифр меняется позиционная запись: «9» с сотен перемещается в единицы.

– Записали разность исходного и полученного числа, раскрыли скобки и привели подобные члены.

– Решили линейное уравнение по целым переменным \(x,y\) с учётом ограничения «цифра» (\(0\le x,y\le9\)).

– Полученное решение \(x=3\), \(y=5\) даёт единственное подходящее число \(935\).