Упражнение 782 - ГДЗ Алгебра 7 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

Пусть \(x\) (г) масса соли в первоначальном растворе, тогда его концентрация \(\frac{x}{480}\). Масса соли в новом растворе \(x + 20\) (г), тогда его концентрация \(\frac{x + 20}{500}\). Известно, что концентрация раствора повысилась на 3,75 % = 0,0375.

Составим уравнение:

\( \frac{x + 20}{500} - \frac{x}{480} = 0,0375 \)   /  \(\times24 000\)

\(^{48}\cancel{24000} \cdot \frac{x + 20}{\cancel{500}} -  ^{50}\cancel{24000} \cdot \frac{x}{\cancel{480}}=24000 \cdot 0,0375 \)

\( 48(x + 20) - 50x = 900 \)

\( 48x + 960 - 50x = 9000 \)

\( -2x + 960 = 900 \)

\( -2x = 900 - 960 \)

\( -2x = -60 \)

\( x = \frac{60}{2} \)

\( x = 30 \) (г)

Ответ: первоначально было \(30\) г соли.

Пояснения:

Использованы следующие правила и формулы:

\( \text{Концентр.} = \frac{\text{масса соли}}{\text{масса раствора}}, \)

\( \text{Прирост концентр.} = \text{новая концентр.} - \text{исходная}. \)

1) Вводим переменную \(x\) — масса соли до добавления.

2) Составляем уравнение разности концентраций.

3) Домножаем на общий знаменатель для упрощения — избавляемся от дробей.

4) Решаем получившееся линейное уравнение и находим \(x = 30\).

Таким образом, первоначально в растворе было 30 г соли.

а) \((a - 3)(a^2 - 8a + 5) - (a - 8)(a^2 - 3a + 5)=\)

\(=(d^3 - 8a^2 + 5a - 3a^2 + 24a - 15) - (a^3 - 3a^2 + 5a - 8a^2 + 24a - 40)=\)

\(=(a^3 - 11a^2 + 29a - 15) - (a^3 - 11a^2 + 29a - 40)=\)

\(=\cancel{a^3} - \cancel{11a^2} + \cancel{29a} - 15 - \cancel{a^3} + \cancel{11a^2} - \cancel{29a} + 40 =\)

\(=-15 + 40 = 25\) - не зависит от значения переменной.

б) \((x^2 - 3x + 2)(2x + 5) - (2x^2 + 7x + 17)(x - 4) =\)

\(=(2x^3 + 5x^2 - 6x^2 - 15x + 4x +10) - (2x^3 - 8x^2 + 7x^2 - 28x + 17x - 68)=\)

\(=(2x^3 - x^2 - 11x + 10) - (2x^3 - x^2 - 11x - 68)=\)

\(=\cancel{2x^3} - \cancel{x^2} - \cancel{11x} + 10 - \cancel{2x^3} + \cancel{x^2} + \cancel{11x} + 68) =\)

\(=10 + 68 = 78\) - не зависит от значения переменной.

в) \((b^2 + 4b - 5)(b - 2) + (3 - b)(b^2 + 5b + 2)= \)

\(=(b^3 - 2b^2 + 4b^2 - 8b - 5b + 10) + (3b^2 + 15b + 6 - b^3 - 5b^2 - 2b=\)

\(=(b^3 + 2b^2 - 13b + 10) + (-b^3 - 2b^2 + 13b + 6=\)

\(=\cancel{b^3} +\cancel{2b^2} - \cancel{13b} + 10 -\cancel{b^3} - \cancel{2b^2} +\cancel{13b} + 6 = 10 + 6 = 16\) - не зависит от значения переменной.

Пояснения:

1. Умножение многочлена на многочлен, то есть каждый член одного многочлена умножаем на каждый член другого многочлена:

\( (a + b)(c + d + m) =\)

\(=ac + ad + am + bc + bd + bm\)

2. Внутри каждого многочлена, полученного после умножения, приводим подобные члены: складываем и вычитаем члены с одинаковыми степенями и переменными.

3. Сложить или вычитание многочленов: у многочлена, который вычитают, нужно поменять все знаки на противоположные.

4. Вычеркиваем противоположные члены, так как их сумма равна нулю

5. Во всех трёх случаях коэффициенты при степенях переменной полностью сокращаются, и остаётся только числовая часть выражения. Это доказывает, что итог выражения не зависит от значения переменной.