Упражнение 754 - ГДЗ Алгебра 7 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

\(A = 2x - 1,\) \(B = 3x + 1,\) \(C = 5x.\)

\( A + B - C =\)

\(=(2x - 1) + (3x + 1) - 5x =\)

\(=2x - 1 + 3x + 1 - 5x =\)

\(=(2x + 3x - 5x) + (-1 + 1) = 0. \)

\( C - B - A =\)

\(=5x - (3x + 1) - (2x - 1) =\)

\(=5x - 3x - 1 - 2x + 1 =\)

\(=(5x - 3x - 2x) + (-1 + 1) = 0. \)

\[ A + B - C = C - B - A = 0 \]

Что и требовалось доказать.

Пояснения:

1. Подстановка. В подстановках мы прямо заменили \(A\), \(B\) и \(C\) их линейными выражениями от \(x\).

2. Сбор подобных членов. При упрощении суммировали все члены с \(x\) и все свободные (числа) отдельно.

3. Тождественность. Поскольку оба результата равны одному и тому же числу (ноль) при любом \(x\), выражения тождественно совпадают.

Решение:

a) \(5\bigl(y + \tfrac{2}{3}\bigr) - 3 = 4\bigl(3y - \tfrac{1}{2}\bigr)\)

\( 5y + \tfrac{10}{3} - 3 = 12y - 2 \)

\( 5y - 12y) = 3 - 2 - \tfrac{10}{3}\)

\( -7y = 1 - 3\tfrac{1}{3} \)

\( -7y = -2\tfrac{1}{3} \)

\( -7y = -\tfrac{7}{3} \)

\( y = \tfrac{7}{3} : 7\)

\( y = \tfrac{\cancel7}{3} \cdot \tfrac{1}{\cancel7}\)

\( y = \tfrac{1}{3} \)

Ответ: \( y = \tfrac{1}{3} \).

б) \(7\,(2y - 2) - 2\,(3y - 3{,}5) = 9\)

\( 14y - 14 - 6y + 7 = 9 \)

\( (14y - 6y) = 9 + 14 - 7 \)

\( 8y = 16 \)

\( y = \tfrac{16}{8}\)

\( y = 2 \)

Ответ: \( y = 2 \).

в) \(21{,}5\,(4x - 1) + 8\,(12{,}5 - 9x) = 82\)

\( 86x - 21{,}5 + 100 - 72x = 82 \)

\( 86x - 72x = 82 + 21{,}5 - 100 \)

\( 14x = 103{,}5 - 100\)

\( 14x = 3{,}5 \)

\( y = \tfrac{3,5}{14}\)

\( y = \frac{\cancel{30}^{1}}{\cancel{140}^{4}}\)

\( y = \frac{1}{4}\)

\( x = 0{,}25 \)

Ответ: \( x = 0{,}25 \).

г) \(12{,}5\,(3x - 1) + 132{,}4 = (2{,}8 - 4x)\cdot 0{,}5;\)

\( 37{,}5x - 12{,}5 + 132{,}4 = 1{,}4 - 2x \)

\( 37{,}5x + 2x = -131 + 12{,}5\)

\( 39{,}5x = 118{,}5 \)

\( x = -\dfrac{118{,}5}{39{,}5} \)

\( x = -\dfrac{1185}{395} \)

\( x = -3 \)

Ответ: \( x = -3 \).

д) \(\frac{3x + 6}{2} - \frac{7x - 14}{3} - \frac{x + 1}{9} = 0\)   / \(\times 18\)

\( ^9\cancel{18}\cdot\frac{3x+6}{\cancel2} - ^6\cancel{18}\cdot\frac{7x-14}{\cancel3} - ^2\cancel{18}\cdot\frac{x+1}{\cancel9} = 0 \)

\( 9(3x+6) - 6(7x-14) - 2(x+1) = 0 \)

\( 27x + 54 - 42x + 84 - 2x - 2 = 0 \)

\( (27x - 42x - 2x) + (54 + 84 - 2) = 0 \)

\( -17x + 136 = 0 \)

\( 17x = 136 \)

\( x = 8 \)

Ответ: \( x = 8 \).

е) \(\displaystyle\frac{1 - 6x}{2} - \frac{2x + 19}{12} = \frac{23 - 2x}{3}\)    / \(\times 12\)

\( ^6\cancel{12}\cdot\frac{1 - 6x}{\cancel2} - \cancel{12}\cdot\frac{2x + 19}{\cancel{12}} = ^4\cancel{12}\cdot\frac{23 - 2x}{\cancel3} \)

\( \frac{6(1 - 6x) - (2x + 19)}{12} = \frac{4(23 - 2x)}{12} \)

\( 6(1 - 6x) - (2x + 19) = 4(23 - 2x) \)

\( -36x - 2x + 8x = 92+19-6 \)

\( -30x = 105 \)

\( y = -\frac{\cancel{105}^{7}}{\cancel{300}^{2}}\)

\( x = -\tfrac{7}{2} \)

\( x = -3,5 \)

Ответ: \( x = -3,5 \).

Пояснения:

Использованные правила и приёмы:

1.Умножение многочлена на одночлен: каждый член многочлена умножается на одночлен

\(а(b + с) = ab + ac\).

2. Приведение подобных членов:

\(\displaystyle ax + bx = (a+b)x\).

3. Перенос членов через знак «=»: если

\(A + C= B + D\), то

\(A - D = B - C\).

4. Свойство уравнений: при умножении левой и правой части уравнения на одно и то же число, корни уравнения не изменятся (используют для того, чтобы избавиться от знаменателей, умножая на наименьший общий знаменатель всех дробей, входящих в уравнение).

5. Решение линейного уравнения:

из \(ax = b\) следует \(x = \tfrac{b}{a}\) при \(a\neq0\).

Пояснения к пункту a) - г):

Сначала раскрыли скобки, потом перенесли все члены, содержащие \(y\) или \(x\), в одну сторону, а числовые — в другую, решили полученное линейное уравнение.

Пояснения к пункту д):

Для упрощения выражения с тремя дробями домножили левую и правую часть уравнения на общий знаменатель дробей 18, раскрыли скобки, потом перенесли все члены, содержащие \(х\), в одну сторону, а числовые — в другую, решили полученное линейное уравнение.

Пояснения к пункту е):

Для упрощения выражения с тремя дробями домножили левую и правую часть уравнения на общий знаменатель дробей 18, раскрыли скобки, потом перенесли все члены, содержащие \(х\), в одну сторону, а числовые — в другую, решили полученное линейное уравнение.