Упражнение 751 - ГДЗ Алгебра 7 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 157

\(3ax^2 - 6a^3x + 8a^2 - x^3\):

а) По возрастанию степеней \(x\):

\( 8a^2 - 6a^3x + 3ax^2 -x^3 \)

б) По убыванию степеней \(a\):

\( -6a^3x + 8a^2 + 3ax^2 - x^3 \)

Пояснения:

1. Степень одночлена. Степень по переменной — показатель степени этой переменной в одночлене. Например, в \(3ax^2\) степень по \(x\) равна 2, а по \(a\) — 1.

2. Сортировка по \(x\).

Для пункта а) упорядочили одночлены от наименьшей степени \(x\) (степень 0: \(8a^2\)) к наибольшей (степень 3: \(-x^3\)).

3. Сортировка по \(a\).

Для пункта б) упорядочили одночлены от наибольшей степени \(a\) (степень 3: \(-6a^3x\)) к наименьшей (степень 0: \(-x^3\)).

4. Результат. В обоих случаях сохранён знак и коэффициенты одночленов исходного многочлена.

а) \((x^4 + 7x^2y^2 - 5y^4)(-0,2xy^2)=\)

\(=x^4\cdot(-0,2xy^2) + 7x^2y^2\cdot(-0,2xy^2) - 5y^4\cdot(-0,2xy^2)=\)

\(=-0,2x^5y^2 - 1,4x^3y^4 + xy^6\).

б) \(b^7 - \tfrac12b^5c + \tfrac23b^3c^3 - \tfrac25c^5)(-30bc^3)=\)

\(=b^7\cdot(-30bc^3) - \tfrac12b^5c\cdot(-30bc^3) + \tfrac23b^3c^3\cdot(-30bc^3) - \tfrac25c^5\cdot(-30bc^3)=\)

\(=-30b^8c^3 + \tfrac{1}{\cancel2}\cdot\cancel{30}^{\color{blue}{\backslash15}} b^6c^4 - \tfrac{2}{\cancel3}\cdot\cancel{30}^{\color{blue}{\backslash10}} b^4c^6 + \tfrac{2}{\cancel5}\cdot\cancel{30}^{\color{blue}{\backslash6}}bc^8=\)

\(=-30b^8c^3 + 15b^6c^4 - 20b^4c^6 + 12bc^8\).

в) \((\tfrac13a^5b - ab + \tfrac17)(-21a^2b^2)=\)

\(=\tfrac13a^5b\cdot(-21a^2b^2) - ab\cdot(-21a^2b^2) + \tfrac17\cdot(-21a^2b^2)=\)

\(=-\tfrac{1}{\cancel3}\cdot\cancel{21}^{\color{blue}{\backslash7}}a^7b^3 + 21a^3b^3 - \tfrac{1}{\cancel7}\cdot\cancel{21}^{\color{blue}{\backslash3}}a^2b^2=\)

\(=-7a^7b^3 + 21a^3b^3 - 3a^2b^2\).

г) \((0,5x^7y^{12} - 6xy - 1)(-\tfrac16xy)=\)

\(=(0,5x^7y^{12}\cdot(-\tfrac16xy) - 6xy\cdot(-\tfrac16xy) - 1\cdot(-\tfrac16xy)=\)

\(=-\tfrac12\cdot\tfrac16x^8y^{13} + \cancel6\cdot\tfrac{1}{\cancel6}x^2y^2 + \tfrac16xy=\)

\(=-\tfrac1{12}x^8y^{13} + x^2y^2 + \tfrac16xy\).

Пояснения:

Использованные правила и приёмы:

Умножение многочлена на одночлен: каждый член многочлена умножается на одночлен, при этом коэффициенты перемножаются, а степени одноимённых букв складываются:

\(а^n + a^m=a^{m+n}\).

Комментарии к шагам:

1) Раскрыли скобки, умножив каждый член первого множителя на второй.

2) Перемножили числовые коэффициенты отдельно, переменные — по степеням.

3) Записали итоговый многочлен.