Окружность, вписанная в правильный многоугольник

Теорема

Доказательство

Дано: А₁А₂А₃...А_n - правильный многоугольник.

Доказать: в многоугольник А₁А₂А₃...А_n можно вписать окружность, и притом только одну.

Доказательство:

А₁А₂А₃...А_n - правильный многоугольник, значит, мы можем описать около него окружность. Пусть окружность с центром О описана около многоугольника А₁А₂А₃...А_n.

А₁ОА₂ = А₂ОА₃ = ... = А₁ОА_n по трем сторонам (ОА₁ = ОА₂ = ... = ОА_n, как радиусы описанной окружности и А₁А₂ = А₂А₃ = ... = А_nА₁, как стороны правильного многоугольника), тогда и высоты этих треугольников, проведенные из вершины О, также будут равны: ОН₁ = ОН₂ = ... = ОН_n. Следовательно, окружность с центром О и радиусом ОН₁ проходит через точки Н₁, Н₂, ..., Н_n и касается сторон многоугольника в этих точках, т.е. эта окружность вписана в данный правильный многоугольник А₁А₂А₃...А_n.

Докажем, что вписать можно только одну окружность.

Пусть существует окружность с центром О₁, вписанная в многоугольник А₁А₂А₃...А_n, отличная от окружности с центром О и радиусом ОН₁. Тогда ее центр О₁ равноудален от сторон многоугольника, т.е. точка О₁ лежит на каждой из биссектрис углов многоугольника А₁А₂А₃...А_n и, следовательно, совпадает с точкой О пересечения этих биссектрис (смотри теорему об окружности, описанной около правильного многоугольника). Радиус этой окружности равен расстоянию от точки О до сторон многоугольника,т.е. равен ОН₁. Значит, получаем, что вторая окружность совпадает с первой. Следовательно, наше предположение неверно, и в правильный многоугольник вписать можно только одну окружность. Теорема доказана.

Следствие 1

Следствие 2

Эта точка называется центром правильного многоугольника.