Окружность, описанная около правильного многоугольника

Теорема

Около любого правильного многоугольника можно описать окружность, и притом только одну.

Доказательство

Дано: А1А2А3...Аn - правильный многоугольник.

Доказать: около А1А2А3...Аn можно описать окружность, и притом только одну.

Доказательство:

Пусть точка О - точка пересечения биссектрис углов А1 и А2. Соединим точку О отрезками с остальными вершинами многоугольника и докажем, что ОА1 = ОА2 = ... = ОАn.

А1А2А3...Аn - правильный многоугольник, значит,  А1 А2, тогда  1 = 3 (т.к. ОА1 и ОА2 биссектрисы равных углов А1 и А2), следовательно,

А1ОА2 - равнобедренный (по признаку равнобедренного треугольника), поэтому ОА1 = ОА2.

А1ОА2 = А2ОА3 по двум сторонам и углу между ними (А1А2 = А2А3 как стороны правильного многоугольника, ОА2 - общая, 3 = 4, т.к. ОА2 биссектриса угла А2), следовательно,

ОА1 = ОА3. Аналогично можно доказать, что ОА2 = ОА4, ОА3 = ОА5 и т.д.

Итак, ОА1 = ОА2 = ... = ОАn, значит, точка О равноудалена от всех вершин многоугольника. Поэтому окружность с центром О и радиусом ОА1 является описанной около многоугольника А1А2А3...Аn.

Докажем, что описать можно только одну окружность.

Рассмотрим какие-нибудь три вершины многоугольника А1А2А3...Аn, например, А1, А2, А3. Мы можем начертить только одну окружность одновременно проходящую через три точки А1, А2, А3 (смотри доказательство), т.е. другой окружности проходящей через три данные точки не существует, значит, около многоугольника А1А2А3...Аn можно описать только одну окружность, т.к. точки А1, А2, А3 - вершины данного многоугольника. Теорема доказана.

Поделись с друзьями в социальных сетях:

Советуем посмотреть:

Правильный многоугольник

Окружность, вписанная в правильный многоугольник

Формулы для вычисления площади правильного многоугольника, его стороны и радиуса вписанной окружности

Построение правильных многоугольников

Длина окружности

Площадь круга

Площадь кругового сектора

Длина окружности и площадь круга

Правило встречается в следующих упражнениях:

7 класс

Задание 1084, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 1085, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 1093, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 6, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 7, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 1134, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 1239, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 1243, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 1282, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 1283, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник