Длина окружности

Если представить, что окружность сделана из тонкой нерастяжимой нити, которую мы разрежем в произвольной точке А и распрямим её, то длина полученного отрезка АА₁ будет являться длиной окружности:

Впишем в окружность равносторонний треугольник, квадрат и правильный двенадцатиугольник:

Мы видим, что периметр любого правильного многоугольника, который вписан в окружность является приближённым значением длины окружности, при этом чем больше число сторон такого многоугольника, тем точнее это приближение, так как при неограниченном увеличении количества сторон правильного многоугольника его периметр будет как угодно мало отличаться от длины окружности. Иными словами, предел к которому стремится периметр правильного вписанного в окружность многоугольника при неограниченном увеличении числа его сторон, есть точное значение длины окружности.

Рассмотрим две окружности радиусом и . Обозначим длину этих окружностей через и соответственно. Впишем в каждую из них - угольник. Пусть  и - стороны данных многоугольников, а  и  - их периметры:

Периметры данных многоугольников вычисляют по формулам:

Поделим первое равенство на второе и получим, что:

      (1)

Это равенство справедливо для любого значения . Если мы будем неограниченно увеличивать число , то периметры и  соответственно будут сколь угодно мало отличаться от длин и описанных окружностей. Значит, при неограниченном увеличении отношение будет сколь угодно мало отличаться от отношения . Учитывая равенство (1), получаем, что число сколь угодно мало отличается от числа , значит, или

Из последнего равенства очевидно, что для всех окружностей отношение длины окружности к диаметру есть одно и то же число. Данное число принято обозначать греческой буквой (читается "пи"), т.е. , отсюда получаем, что длину окружности можно найти по формуле:

Число иррациональное, а значит, оно не может быть представлено в виде конечной десятичной дроби. При решении задач в качестве приближённого значения принимают число

Очевидно, что длина  дуги окружности с градусной мерой выражается формулой , так как длина всей окружности равна . Таким образом, длина дуги в 1⁰ равна