Площадь круга

Круг - часть плоскости, ограниченная окружностью. Круг радиуса с центром содержит точку и все точки плоскости, которые находятся от точки на расстоянии, не большем .

Впишем в окружность, ограничивающую круг, правильный - угольник А1А2А3....An:

Так как данный многоугольник целиком содержится в данном круге, то площадь данного круга больше площади данного многоугольника. Если мы в данный многоугольник впишем окружность радиуса , то площадь круга, ограниченного этой окружностью, меньше площади данного многоугольника , потому что данный круг полностью содержится в многоугольнике. Значит, мы можем записать, что

       (1)

Теперь неограниченно будем увеличивать число сторон многоугольника. Нам известно, что радиус вписанной в правильный многоугольник окружности, можно вычислить по формуле . Если стремится к бесконечности, то отношение будет стремится к нулю, а значит будет стремится к единице, а значит, радиус вписанной окружности будет стремиться к радиусу описанной окружности . Другими словами, при неограниченном увеличении числа сторон многоугольника вписанная в него окружность "стремится" к описанной окружности, а значит, площадь круга, ограниченного вписанной окружностью стремится к площади круга, ограниченного описанной окружностью, , значит, учитывая неравенство (1), получим, что при неограниченном увеличении числа сторон многоугольника, площадь многоугольника  стремится к площади круга , ограниченного описанной около данного многоугольника окружностью.

Пусть - периметр многоугольника А1А2А3....An, тогда площадь данного многоугольника вычисляется по формуле

Так как при неограниченном увеличении сторон многоугольника радиус вписанной окружности   стремится к радиусу описанной окружности , а периметр данного многоугольника стремится к длине окружности , а площадь многоугольника  стремится к площади круга . Значит,

Итак, площадь круга радиуса вычисляется по формуле:

Поделись с друзьями в социальных сетях:

Советуем посмотреть:

Правильный многоугольник

Окружность, описанная около правильного многоугольника

Окружность, вписанная в правильный многоугольник

Формулы для вычисления площади правильного многоугольника, его стороны и радиуса вписанной окружности

Построение правильных многоугольников

Длина окружности

Площадь кругового сектора

Длина окружности и площадь круга

Правило встречается в следующих упражнениях:

7 класс

Задание 1114, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 1116, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 1125, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 1126, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 1135, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 15, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 24, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 1249, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 1250, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 1252, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник