Площадь круга

Круг - часть плоскости, ограниченная окружностью. Круг радиуса с центром содержит точку и все точки плоскости, которые находятся от точки на расстоянии, не большем .

Впишем в окружность, ограничивающую круг, правильный - угольник А₁А₂А₃....A_n:

Так как данный многоугольник целиком содержится в данном круге, то площадь данного круга больше площади данного многоугольника. Если мы в данный многоугольник впишем окружность радиуса , то площадь круга, ограниченного этой окружностью, меньше площади данного многоугольника , потому что данный круг полностью содержится в многоугольнике. Значит, мы можем записать, что

       (1)

Теперь неограниченно будем увеличивать число сторон многоугольника. Нам известно, что радиус вписанной в правильный многоугольник окружности, можно вычислить по формуле . Если стремится к бесконечности, то отношение будет стремится к нулю, а значит будет стремится к единице, а значит, радиус вписанной окружности будет стремиться к радиусу описанной окружности . Другими словами, при неограниченном увеличении числа сторон многоугольника вписанная в него окружность "стремится" к описанной окружности, а значит, площадь круга, ограниченного вписанной окружностью,  стремится к площади круга, ограниченного описанной окружностью, , значит, учитывая неравенство (1), получим, что при неограниченном увеличении числа сторон многоугольника, площадь многоугольника  стремится к площади круга , ограниченного описанной около данного многоугольника окружностью.

Пусть - периметр многоугольника А₁А₂А₃....A_n, тогда площадь данного многоугольника вычисляется по формуле

Так как при неограниченном увеличении сторон многоугольника радиус вписанной окружности   стремится к радиусу описанной окружности , а периметр данного многоугольника стремится к длине окружности , а площадь многоугольника  стремится к площади круга . Значит,

Итак, площадь круга радиуса вычисляется по формуле: