Связь между координатами вектора его начала и конца

Для того, чтобы определить координаты (, ) точки М в прямоугольной системе координат через точку М проводим прямые перпендикулярные к осям координат и обозначаем через М₁ и М₂ точки пересечения этих прямых с осями и соответственно (Рис. 1).

Число (абсцисса точки М) определяется так: = ОМ₁, если М₁ точка положительной полуоси (Рис. 1, ), = - ОМ₁, если М₁ - точка отрицательной полуоси (Рис. 1, б); = 0, если М₁ совпадает с точкой .

Аналогично определяется число (ордината точки М). На рисунке 2 изображена прямоугольная система координат и отмечены точки:

А(4; 3), В(- 5; 2), С(- 3,5;0).

На рисунке 3 вектор называется радиус-вектором точки М.

Доказательство

Дано: М(, ), - радиус-вектор.

Доказать: , .

Доказательство:

Если 0 (как на рисунке 3, ), то = ОМ₁, а векторы и сонаправлены. Поэтому .

Если 0 (как на рисунке 3, б), то = - ОМ₁, а векторы и противоположно направлены. Поэтому .

Если = 0, то и равенство также будет справедливо.

Получаем, что в любом случае . Аналогично доказывается, что .

Следовательно, , значит, координаты радиус-вектора равны , т.е. равны соответствующим координатам точки М. Что и требовалось доказать.

Рассмотрим вектор в прямоугольной системе координат и выразим его координаты через координаты его начала А и конца В. Пусть точка А имеет координаты (₁, ₁), а точка В - координаты (₂, ₂) (Рис. 4).

Вектор равен разности векторов и , значит, его координаты равны разностям соответствующих координат векторов и . Но и - радиус-векторы точек В и А, и поэтому имеет координаты , а имеет координаты . Следовательно, вектор имеет координаты .

Вывод:

 На рисунке 5 точки В и С имеют координаты (1; 4) и (4; 2), поэтому координаты вектора равны или .