Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№883 учебника 2023-2026 (стр. 213):
Докажите, что значение выражения
\[ (5+10^{n+1})(1+10+\ldots+10^n)+1 \]
при любом натуральном \(n\) можно представить в виде квадрата натурального числа.
№883 учебника 2014-2022 (стр. 222):
Упростите выражение \(\small(5-2\sqrt{6})^2-(3\sqrt{2}-2\sqrt{3})(4\sqrt{2}+8\sqrt{3})\).
№883 учебника 2023-2026 (стр. 213):
Вспомните:
№883 учебника 2014-2022 (стр. 222):
№883 учебника 2023-2026 (стр. 213):
\[ (5+10^{n+1})(1+10+\ldots+10^n)+1 \]
\(1; 10; \ldots; 10^n\) - геометрическая прогрессия, в которой \(n + 1\) член, \(b_1 = 1\) и \(q = 10 : 1 = 10\).
\(S_{n+1} = \frac{b_1(q^{n+1} - 1)}{q-1} =\)
\(= \frac{1\cdot(10^{n+1} - 1)}{10-1} =\)
\(= \frac{10^{n+1} - 1}{9} \), значит,
\( 1+10+\ldots+10^n=\frac{10^{n+1}-1}{9} \)
\( (5+10^{n+1})(1+10+\ldots+10^n)+1=\)
\(=(5+10^{n+1})\cdot \frac{10^{n+1}-1}{9}+1 \)
\[ =\frac{(10^{n+1}+5)(10^{n+1}-1)}{9}+1 =\]
\[ =\frac{10^{2n+2}-10^{n+1}+5\cdot 10^{n+1}-5}{9}+1 ^{\color{blue}{\backslash9}} =\]
\[ =\frac{10^{2n+2}+4\cdot 10^{n+1}-5}{9}+1= \]
\[ =\frac{10^{2n+2}+4\cdot 10^{n+1}-5+9}{9} =\]
\[ =\frac{10^{2n+2}+4\cdot 10^{n+1}+4}{9} =\]
\[ =\frac{(10^{n+1})^2+2\cdot 10^{n+1}\cdot 2+2^2}{9} =\]
\[ =\frac{(10^{n+1}+2)^2}{3^2} =\left(\frac{10^{n+1}+2}{3}\right)^2 \]
Так как сумма цифр числа \( 10^{n+1}+2\) при любом \(n\) равна \(3\), это число нацело делится на \(3\), значит число \(\frac{10^{n+1}+2}{3}\) - натуральное. Следовательно, данное выражение является квадратом натурального числа:
Что и требовалось доказать.
Пояснения:
Сначала используем формулу суммы геометрической прогрессии:
\( 1+10+10^2+\ldots+10^n=\)
\(=\frac{10^{n+1}-1}{10-1}=\frac{10^{n+1}-1}{9}. \)
Это позволяет заменить длинную сумму более удобной дробью. После подстановки всё выражение становится алгебраическим, и его можно преобразовывать обычным раскрытием скобок.
Далее раскрываем скобки в произведении:
\[ (10^{n+1}+5)(10^{n+1}-1). \]
По правилу умножения многочленов получаем:
\( 10^{n+1}\cdot 10^{n+1}-10^{n+1}+5\cdot 10^{n+1}-5 =\)
\(=10^{2n+2}+4\cdot 10^{n+1}-5. \)
После этого не забываем прибавить \(1\). Чтобы объединить это с дробью, представляем единицу в виде
\[ 1=\frac{9}{9}. \]
Тогда числитель становится
\( 10^{2n+2}+4\cdot 10^{n+1}-5+9=\)
\(=10^{2n+2}+4\cdot 10^{n+1}+4. \)
Теперь замечаем формулу квадрата суммы:
\[ (a+b)^2=a^2+2ab+b^2. \]
Если взять
\[ a=10^{n+1}, \qquad b=2, \]
то получим:
\( (10^{n+1}+2)^2=\)
\(=(10^{n+1})^2+2\cdot 10^{n+1}\cdot 2+2^2 =\)
\(=10^{2n+2}+4\cdot 10^{n+1}+4. \)
Значит, всё выражение равно
\[ \frac{(10^{n+1}+2)^2}{9}=\left(\frac{10^{n+1}+2}{3}\right)^2. \]
Остаётся объяснить, почему число \(\dfrac{10^{n+1}+2}{3}\) натуральное.
Так как сумма цифр числа \( 10^{n+1}+2\) при любом \(n\) равна \(3\), это число нацело делится на \(3\), значит число \(\frac{10^{n+1}+2}{3}\) - натуральное. Следовательно, данное выражение является квадратом натурального числа:
Что и требовалось доказать.
№883 учебника 2014-2022 (стр. 222):
\(\small(5-2\sqrt{6})^2-(3\sqrt{2}-2\sqrt{3})(4\sqrt{2}+8\sqrt{3})=\)
\(\small=25-20\sqrt{6}+24-\)
\(\small-(12\cdot2+24\sqrt{6}-8\sqrt{6}-16\cdot3)=\)
\(\small=49-20\sqrt{6}-(-24+16\sqrt{6})=\)
\(\small=(49-20\sqrt{6})-(-24+16\sqrt{6})\)
\(\small=49-20\sqrt{6}+24-16\sqrt{6}=\)
\(\small=73-36\sqrt{6}.\)
Пояснения:
Используемые формулы:
1) Формула квадрата разности:
\[(a-b)^2=a^2-2ab+b^2.\]
2) Умножение многочленов: чтобы умножить многочлен на многочлен, надо каждый член первого многочлена умножить на каждый член второго многочлена.
3) Приведение подобных слагаемых.
Подробное объяснение.
Сначала раскрывается квадрат по формуле \(a^2-2ab+b^2\). Затем перемножаются многочлены. После этого приводятся подобные слагаемые и выполняется вычитание.
Вернуться к содержанию учебника