Вернуться к содержанию учебника
Решите систему уравнений
\[ \begin{cases} x^2+y^2-2z^2=0,\\ x+y+z=8,\\ xy=-z^2. \end{cases} \]
Введите текст
\[ x^2+y^2=2z^2. \]
Из третьего уравнения:
\[ xy=-z^2. \]
Рассмотрим
\[ (x+y)^2=x^2+2xy+y^2. \]
Подставим:
\[ (x+y)^2=(x^2+y^2)+2xy \]
\[ (x+y)^2=2z^2+2(-z^2) \]
\[ (x+y)^2=2z^2-2z^2 \]
\[ (x+y)^2=0. \]
Тогда
\[ x+y=0. \]
Из второго уравнения:
\[ x+y+z=8 \]
\[ 0+z=8 \]
\[ z=8. \]
Подставим в третье уравнение:
\[ xy=-z^2 \]
\[ xy=-8^2 \]
\[ xy=-64. \]
Так как
\[ x+y=0, \]
то
\[ y=-x. \]
Подставим:
\[ x(-x)=-64 \]
\[ -x^2=-64 \]
\[ x^2=64 \]
\[ x=8 \quad \text{или} \quad x=-8. \]
Тогда
\[ x=8 \Rightarrow y=-8, \]
\[ x=-8 \Rightarrow y=8. \]
Следовательно, решения системы:
\[ (8,-8,8),\qquad (-8,8,8). \]
Пояснения:
Сначала выпишем основные приёмы, которые использовались в решении.
Формула квадрата суммы:
\[ (a+b)^2=a^2+2ab+b^2. \]
Если квадрат числа равен нулю, то само число равно нулю:
\[ a^2=0 \Rightarrow a=0. \]
Именно эти два факта позволяют быстро упростить систему.
Из первого уравнения системы получаем связь между \(x^2+y^2\) и \(z^2\):
\[ x^2+y^2=2z^2. \]
Из третьего уравнения получаем связь между произведением \(xy\) и \(z^2\):
\[ xy=-z^2. \]
Теперь удобно рассмотреть выражение \((x+y)^2\), потому что в его разложении есть и сумма квадратов, и произведение:
\[ (x+y)^2=x^2+2xy+y^2. \]
После подстановки данных из системы получается:
\[ (x+y)^2=2z^2+2(-z^2)=0. \]
Раз квадрат равен нулю, то
\[ x+y=0. \]
Это очень важный шаг: теперь сумма \(x\) и \(y\) известна, и второе уравнение системы сразу даёт значение \(z\):
\[ x+y+z=8, \]
\[ 0+z=8, \]
\[ z=8. \]
После этого остаётся найти \(x\) и \(y\). Из условия \(x+y=0\) получаем:
\[ y=-x. \]
Подставляем это в третье уравнение:
\[ xy=-z^2=-64. \]
Так как \(y=-x\), имеем:
\[ x(-x)=-64, \]
\[ -x^2=-64, \]
\[ x^2=64. \]
Отсюда два значения:
\[ x=8 \quad \text{или} \quad x=-8. \]
Для каждого из них по формуле \(y=-x\) находим соответствующее \(y\). Поэтому система имеет два решения:
\[ (8,-8,8) \]
и
\[ (-8,8,8). \]
Оба решения подходят, потому что при перестановке \(x\) и \(y\) первое и третье уравнения не нарушаются, а сумма \(x+y+z\) остаётся равной \(8\).
Вернуться к содержанию учебника