Вернуться к содержанию учебника
Докажите, что при положительных значениях \(a\), \(b\) и \(c\) верно неравенство
\[ \frac{(a^2+a+1)(b^2+b+1)(c^2+c+1)}{abc}\ge 27. \]
а)
\[ (x^2-7x+10)\cdot \frac{x^2-6x+9}{x^2-6x+8}\le0 \]
\[ (x-5)(x-2)\cdot \frac{(x-3)^2}{(x-2)(x-4)}\le0 \]
\[ \frac{(x-5)(x-3)^2}{x-4}\le0 \]
\[ x\ne2,\quad x\ne4 \]
\[ \frac{(x-5)(x-3)^2}{x-4}\le0 \]
\[ (x-3)^2\ge0 \]
\[ \frac{x-5}{x-4}\le0 \]
\[ x\in(4,5]\cup\{3\} \]
Наименьшее целое число:
\[ 3 \]
б)
\[ \frac{2x+3}{x^4+6x^3+9x^2}\le0 \]
\[ \frac{2x+3}{x^2(x+3)^2}\le0 \]
\[ x\ne0,\quad x\ne-3 \]
\[ 2x+3\le0 \]
\[ 2x\le-3 \]
\[ x\le-\frac{3}{2} \]
\[ x\in(-\infty,-3)\cup(-3,-\frac{3}{2}] \]
Наибольшее целое число:
\[ -2 \]
в)
\[ \frac{5x-2}{8}-\frac{3x-1}{4}>-\frac{2}{3} \]
\[ 24\left(\frac{5x-2}{8}-\frac{3x-1}{4}\right)>24\cdot\left(-\frac{2}{3}\right) \]
\[ 3(5x-2)-6(3x-1)>-16 \]
\[ 15x-6-18x+6>-16 \]
\[ -3x>-16 \]
\[ x<\frac{16}{3} \]
Наибольшее целое число:
\[ 5 \]
Пояснения:
Разложение квадратных многочленов на множители.
Для решения рациональных неравенств удобно раскладывать квадратные выражения на множители:
\[ x^2-7x+10=(x-5)(x-2) \]
\[ x^2-6x+9=(x-3)^2 \]
\[ x^2-6x+8=(x-2)(x-4) \]
Это позволяет упростить дробное выражение и исследовать его знак.
Область допустимых значений (ОДЗ).
Знаменатель дроби не может быть равен нулю. Поэтому значения, при которых знаменатель обращается в ноль, исключаются из решения.
Например:
\[ x^2(x+3)^2=0 \]
при \(x=0\) и \(x=-3\), поэтому эти точки не входят в решение.
Метод интервалов.
После разложения выражения на множители находятся точки, в которых числитель или знаменатель равны нулю. Эти точки делят числовую прямую на интервалы. На каждом интервале определяется знак выражения.
В первом неравенстве знак выражения определяется дробью
\[ \frac{x-5}{x-4} \]
и учитывается, что \((x-3)^2\ge0\). В результате решение получается
\[ (4,5]\cup\{3\} \]
Наименьшее целое число из этого множества — \(3\).
Во втором неравенстве знаменатель всегда положителен (кроме запрещённых точек), поэтому знак всей дроби определяется только числителем \(2x+3\). Отсюда условие
\[ 2x+3\le0 \]
что даёт \(x\le -\frac{3}{2}\). Исключая точку \(x=-3\), получаем решение
\[ (-\infty,-3)\cup(-3,-\frac{3}{2}] \]
Наибольшее целое число здесь равно \(-2\).
В третьем неравенстве сначала приводим выражение к общему знаменателю (умножаем обе части на 24), чтобы избавиться от дробей. После раскрытия скобок и приведения подобных членов получаем линейное неравенство
\[ -3x>-16 \]
При делении на отрицательное число знак неравенства меняется:
\[ x<\frac{16}{3} \]
Наибольшее целое число, меньшее \( \frac{16}{3} \), равно \(5\).
Найдите значение выражения\[ \left(\frac{a-2}{a+2}-\frac{a+2}{a-2}\right)\cdot\frac{12a^2}{4-a^2} \]
при \(a=\frac{1}{3}\).
Решение:
\[ \left(\frac{a-2}{a+2}-\frac{a+2}{a-2}\right)\cdot\frac{12a^2}{4-a^2} \]
\[ \frac{(a-2)^2-(a+2)^2}{(a+2)(a-2)}\cdot\frac{12a^2}{4-a^2} \]
\[ \frac{a^2-4a+4-(a^2+4a+4)}{a^2-4}\cdot\frac{12a^2}{4-a^2} \]
\[ \frac{-8a}{a^2-4}\cdot\frac{12a^2}{4-a^2} \]
\[ \frac{-8a}{a^2-4}\cdot\frac{12a^2}{-(a^2-4)} \]
\[ \frac{96a^3}{(a^2-4)^2} \]
Подставим \(a=\frac{1}{3}\)
\[ \frac{96\left(\frac{1}{3}\right)^3}{\left(\left(\frac{1}{3}\right)^2-4\right)^2} \]
\[ \frac{96\cdot\frac{1}{27}}{\left(\frac{1}{9}-4\right)^2} \]
\[ \frac{96}{27}\div\left(\frac{-35}{9}\right)^2 \]
\[ \frac{96}{27}\div\frac{1225}{81} \]
\[ \frac{96}{27}\cdot\frac{81}{1225} \]
\[ \frac{96\cdot3}{1225} \]
\[ \frac{288}{1225} \]
Пояснения:
Приведение дробей к общему знаменателю.
Чтобы вычесть дроби
\[ \frac{a-2}{a+2}-\frac{a+2}{a-2} \]
используем общий знаменатель \((a+2)(a-2)\). Тогда числитель преобразуется по формуле:
\[ \frac{(a-2)^2-(a+2)^2}{(a+2)(a-2)} \]
Формулы квадратов.
Используются формулы:
\[ (a-b)^2=a^2-2ab+b^2 \]
\[ (a+b)^2=a^2+2ab+b^2 \]
После раскрытия скобок получаем:
\[ (a-2)^2-(a+2)^2=-8a \]
Разность квадратов.
Используем формулу:
\[ (a+b)(a-b)=a^2-b^2 \]
Поэтому
\[ (a+2)(a-2)=a^2-4 \]
Также:
\[ 4-a^2=-(a^2-4) \]
Это позволяет сократить выражение и получить
\[ \frac{96a^3}{(a^2-4)^2} \]
Подстановка значения переменной.
После упрощения выражения подставляем значение \(a=\frac{1}{3}\) и выполняем последовательные вычисления дробей. Все действия выполняются по правилам умножения и деления дробей.
В результате получаем значение выражения:
\[ \frac{288}{1225} \]
\[ \frac{(a^2+a+1)(b^2+b+1)(c^2+c+1)}{abc}\ge 27 \]
Рассмотрим каждый множитель отдельно:
\[ a^2+a+1\ge 3a \]
\[ a^2+a+1-3a=a^2-2a+1 \]
\[ a^2-2a+1=(a-1)^2\ge0 \]
Значит,
\[ a^2+a+1\ge3a \]
Аналогично:
\[ b^2+b+1\ge3b \]
\[ c^2+c+1\ge3c \]
Перемножим эти неравенства:
\[ (a^2+a+1)(b^2+b+1)(c^2+c+1)\ge 3a\cdot3b\cdot3c \]
\[ (a^2+a+1)(b^2+b+1)(c^2+c+1)\ge 27abc \]
Так как \(abc>0\), делим обе части на \(abc\):
\[ \frac{(a^2+a+1)(b^2+b+1)(c^2+c+1)}{abc}\ge 27 \]
Что и требовалось доказать.
Пояснения:
В этой задаче удобно использовать приём оценки каждого множителя снизу.
Нужно доказать, что всё выражение не меньше \(27\). Так как в знаменателе стоит произведение \(abc\), естественно попробовать сравнить каждый множитель числителя с соответствующим числом \(3a\), \(3b\), \(3c\).
Рассмотрим первое выражение:
\[ a^2+a+1. \]
Сравним его с \(3a\):
\[ a^2+a+1-3a=a^2-2a+1. \]
После приведения подобных членов получаем:
\[ a^2-2a+1=(a-1)^2. \]
Квадрат любого числа неотрицателен, значит:
\[ (a-1)^2\ge0. \]
Отсюда следует:
\[ a^2+a+1\ge3a. \]
Точно так же получаются неравенства
\[ b^2+b+1\ge3b \]
и
\[ c^2+c+1\ge3c. \]
Теперь используется важное свойство: если положительные величины сравниваются по отдельности, то их можно перемножить. Поэтому после перемножения трёх неравенств получаем оценку всего числителя:
\[ (a^2+a+1)(b^2+b+1)(c^2+c+1)\ge27abc. \]
Так как по условию \(a\), \(b\), \(c\) положительны, то и \(abc>0\). Значит, можно разделить обе части неравенства на \(abc\), не меняя знак неравенства.
В результате получается именно то, что требовалось доказать:
\[ \frac{(a^2+a+1)(b^2+b+1)(c^2+c+1)}{abc}\ge27. \]
Равенство достигается тогда, когда
\[ a^2+a+1=3a,\qquad b^2+b+1=3b,\qquad c^2+c+1=3c, \]
то есть
\[ (a-1)^2=0,\qquad (b-1)^2=0,\qquad (c-1)^2=0. \]
Следовательно, равенство возможно при
\[ a=b=c=1. \]
Вернуться к содержанию учебника